4.利用逆矩阵解下列线性方程组:-|||-(1) ) (x)_(1)-(x)_(2)+2(x)_(3)=1, -2(x)_(1)-(x)_(2)-2(x)_(3)=3, 4(x)_(1)+3(x)_(2)+3(x)_(3)=-1 .-|||-。

考查要点：本题主要考查利用逆矩阵求解线性方程组的方法，涉及矩阵的行列式计算、伴随矩阵求逆以及矩阵乘法等知识点。

解题核心思路：

1. 构造系数矩阵$A$和常数项向量$B$，将方程组写成$AX = B$的形式。
2. 验证矩阵$A$是否可逆，计算行列式$\det(A)$，若不为零则存在唯一解。
3. 求逆矩阵$A^{-1}$，通过伴随矩阵法实现。
4. 计算解向量$X = A^{-1}B$。

破题关键点：

• 正确计算行列式确保矩阵可逆。
• 准确求出伴随矩阵，注意余因子的符号和转置操作。
• 矩阵乘法时需逐项计算避免符号错误。

步骤1：构造矩阵$A$和$B$

系数矩阵$A$和常数项向量$B$分别为：
$A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\-2 & -1 & -2 \\4 & 3 & 3\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 \\3 \\-1\end{pmatrix}$

步骤2：计算行列式$\det(A)$

按第一行展开：
$\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 3\end{pmatrix} - (-1) \cdot \det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\ 4 & 3\end{pmatrix} + 2 \cdot \det\begin{pmatrix}-2 & -1 \\ 4 & 3\end{pmatrix}$
计算得：
$\det(A) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 3 + 2 - 4 = 1 \neq 0$
因此$A$可逆。

步骤3：求伴随矩阵$adj(A)$

计算余因子矩阵并转置：
$adj(A) = \begin{pmatrix}3 & 9 & 4 \\-2 & -5 & -2 \\-2 & -7 & -3\end{pmatrix}$

步骤4：求逆矩阵$A^{-1}$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot adj(A) = adj(A)$

步骤5：计算解向量$X = A^{-1}B$

$X = \begin{pmatrix}3 & 9 & 4 \\-2 & -5 & -2 \\-2 & -7 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\3 \\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}26 \\-15 \\-20\end{pmatrix}$