题目
iint_(Sigma) x^2 , mathrm(d)S，Sigma 是 x^2 + y^2 + z^2 = R^2 在第一卦限部分.A. (1)/(2) pi R^4B. (1)/(3) pi R^4C. (1)/(6) pi R^4D. (1)/(6) pi R^3
$\iint_{\Sigma} x^2 \, \mathrm{d}S$，$\Sigma$ 是 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 在第一卦限部分.
A. $\frac{1}{2} \pi R^4$
B. $\frac{1}{3} \pi R^4$
C. $\frac{1}{6} \pi R^4$
D. $\frac{1}{6} \pi R^3$
题目解答
答案
C. $\frac{1}{6} \pi R^4$
解析
步骤 1：转换为球坐标系
将球面 $\Sigma$ 转换为球坐标系，其中 $x = R \sin \phi \cos \theta$，$y = R \sin \phi \sin \theta$，$z = R \cos \phi$，积分区域为 $0 \leq \phi, \theta \leq \frac{\pi}{2}$。曲面元素 $dS = R^2 \sin \phi \, d\phi \, d\theta$。
步骤 2：计算积分
则 \[ \iint\limits_{\Sigma} x^2 \, dS = R^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \phi \cos^2 \theta \, d\phi \, d\theta. \] 计算内积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \phi \, d\phi = \frac{2}{3}$，外积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}$。
步骤 3：计算最终结果
得 \[ R^4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi R^4}{6}. \]
将球面 $\Sigma$ 转换为球坐标系，其中 $x = R \sin \phi \cos \theta$，$y = R \sin \phi \sin \theta$，$z = R \cos \phi$，积分区域为 $0 \leq \phi, \theta \leq \frac{\pi}{2}$。曲面元素 $dS = R^2 \sin \phi \, d\phi \, d\theta$。
步骤 2：计算积分
则 \[ \iint\limits_{\Sigma} x^2 \, dS = R^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \phi \cos^2 \theta \, d\phi \, d\theta. \] 计算内积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \phi \, d\phi = \frac{2}{3}$，外积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}$。
步骤 3：计算最终结果
得 \[ R^4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi R^4}{6}. \]