题目
[题目]函数 =(x)^3+(y)^3 在点 (-1,2) 处增加最快的方向-|||-是( ) ()-|||-A. (dfrac (1)(sqrt {17)}cdot dfrac (4)(sqrt {17)})-|||-B. (-dfrac (1)(sqrt {17)}cdot -dfrac (4)(sqrt {17)})-|||-C. (-dfrac (1)(sqrt {5)}cdot dfrac (2)(sqrt {5)})-|||-D. (dfrac (1)(sqrt {5)},-dfrac (2)(sqrt {5)})
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算梯度
函数 $z={x}^{3}+{y}^{3}$ 的梯度为 $\nabla z = (\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y})$。计算偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2$。因此，梯度为 $\nabla z = (3x^2, 3y^2)$。
步骤 2：计算梯度在点 $(-1,2)$ 处的值
将点 $(-1,2)$ 代入梯度表达式，得到 $\nabla z(-1,2) = (3(-1)^2, 3(2)^2) = (3, 12)$。
步骤 3：确定增加最快的方向
函数在某点增加最快的方向是该点梯度的方向。因此，函数 $z={x}^{3}+{y}^{3}$ 在点 $(-1,2)$ 处增加最快的方向是 $(3, 12)$ 的方向。为了得到单位方向，需要将 $(3, 12)$ 归一化。计算其模长 $\sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$。因此，单位方向为 $(\frac{3}{3\sqrt{17}}, \frac{12}{3\sqrt{17}}) = (\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}})$。
函数 $z={x}^{3}+{y}^{3}$ 的梯度为 $\nabla z = (\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y})$。计算偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2$。因此，梯度为 $\nabla z = (3x^2, 3y^2)$。
步骤 2：计算梯度在点 $(-1,2)$ 处的值
将点 $(-1,2)$ 代入梯度表达式，得到 $\nabla z(-1,2) = (3(-1)^2, 3(2)^2) = (3, 12)$。
步骤 3：确定增加最快的方向
函数在某点增加最快的方向是该点梯度的方向。因此，函数 $z={x}^{3}+{y}^{3}$ 在点 $(-1,2)$ 处增加最快的方向是 $(3, 12)$ 的方向。为了得到单位方向，需要将 $(3, 12)$ 归一化。计算其模长 $\sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$。因此，单位方向为 $(\frac{3}{3\sqrt{17}}, \frac{12}{3\sqrt{17}}) = (\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}})$。