题目

一、简答题（共5题，25.0分）1.（简答题，5.0分）已知平面上三点A(1,2)，B(4,5)，C(6,8)，求向量overrightarrow(AB)和overrightarrow(AC)的夹角，并验证这三个点是否共线。

一、简答题（共5题，25.0分） 1.（简答题，5.0分） 已知平面上三点A(1,2)，B(4,5)，C(6,8)，求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角，并验证这三个点是否共线。

题目解答

答案

为了求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角，并验证点A，B和C是否共线，我们将按照以下步骤进行： 1. **求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$：** - 向量$\overrightarrow{AB}$由$\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1, 5-2) = (3, 3)$给出。 - 向量$\overrightarrow{AC}$由$\overrightarrow{AC} = C - A = (6-1, 8-2) = (5, 6)$给出。 2. **计算向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的点积：** - 点积$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 15 + 18 = 33$。 3. **计算向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的模：** - 向量$\overrightarrow{AB}$的模为$$\overrightarrow{AB}$ = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。 - 向量$\overrightarrow{AC}$的模为$$\overrightarrow{AC}$ = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$。 4. **使用点积公式求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$之间的夹角$\theta$：** - 点积公式为$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = $\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AC}$ \cos \theta$。 - 代入已知值，我们得到$33 = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{61} \cos \theta$。 - 解$\cos \theta$，我们得到$\cos \theta = \frac{33}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{61}} = \frac{11}{\sqrt{122}} = \frac{11\sqrt{122}}{122}$。 5. **验证点A，B和C是否共线：** - 如果点A，B和C共线，那么向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$是平行的，这意味着$\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$对于某个标量$k$。 - 检查$\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$，我们得到$(5, 6) = k (3, 3)$。 - 这给出了方程组$5 = 3k$和$6 = 3k$。 - 解这些方程，我们得到$k = \frac{5}{3}$和$k = 2$。 - 由于$k$的值不相同，向量$\overrightarrow{AC}$不是$\overrightarrow{AB}$的标量倍数，因此点A，B和C不共线。 6. **结论：** - 向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$之间的夹角$\theta$由$\cos \theta = \frac{11\sqrt{122}}{122}$给出。 - 点A，B和C不共线。 最终答案是： \[ \boxed{\text{点A，B和C不共线。}} \]

解析

本题主要考查向量的基本运算、向量夹角公式公式以及向量共线的判定。解题思路如下：

  1. 首先根据向量坐标运算求出向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$。若有两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则向量$\overrightarrow{MN}=(x_2 - x_1,y_),y_2 - y_1)$。
    • 已知$A(1,2)$，$B(4,4,5)$，$C(6,8)$，那么$\overrightarrow{AB}=(4 - 1,5 - 2)=(3,3)$；$\overrightarrow{AC}=(6 - 1,8 - 2)=(5,6)$=(5,6))。
  2. 接着计算向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的点积。对于向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$=(x_2,y_2))，它们的点积$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2$。
    • 所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times5 + 3\times6=15 + 18 = 33$。
  3. 然后计算向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的模。向量$\overrightarrow{a}=(x,y)$的模$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x}^{2}+{y}^{2}$。
    • 对于$\overrightarrow{AB}=(3,3)$，$\vert\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{3^2 + 3^2}=\sqrt{9 + 9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}}$；
    • 对于$\overrightarrow{AC}=(5,6)$，$\vert\overrightarrow{AC\vert=\sqrt{5^2 + 6^2}=\sqrt{25 + 36}=\sqrt{61}$。
  4. 再根据向量点积公式$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta$（其中$\theta$为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角）求出夹角$\cos\theta$。
    • 已知$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=33$，$\vert\overrightarrow{AB}\vert = 3\sqrt{2}$，$\vert\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{61}$，则$33 = 3\sqrt{2}\times\sqrt{61}\cos\theta$。
    • 解$\cos\theta$可得：$\cos\theta=\frac{33}{3\sqrt{2}\times\sqrt{6122}}=\frac{11}{\sqrt{122}}=\frac{11\sqrt{122}}{122}$。
  5. 最后验证三点是否共线。若三点$AA$、$B$、$C$共线，则向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$平行，即存在实数$k$，使得$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$。
    • 假设$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$，即$(5,6)=k(3,3)$，可得到方程组$\begin{cases}5 = 3k\\6 = 3k\end{cases}$。
    • 解第一个方程$5 = 3k$，得$k=\frac{5}{3}$；解第二个方程$6 = 3k$，得$k = 2$。{
    • 由于$k$的值不相同，所以向量$\overrightarrow{AC}$不是$\overrightarrow{AB}$的标量倍数，因此点$A$、$B$、$C$不共线。