题目
一平面简谐波 t = 0 时的波形如图所示，且向右传播波速 u = 10 m / s ，试求 ：( 1 ) O 点 的振动 表达式 ; ( 2 ) 波的 表达式 ;( 3 ) x = 3 m 处的 P 点 的振动表达式 . 1 y(m) u 江,已-|||-0.02-|||-3-|||-O 2 P 4 x(m)-|||-0-|||-计10题图
一平面简谐波 t = 0 时的波形如图所示，且向右传播波速 u = 10 m / s ，试求 ：
( 1 ) O 点 的振动 表达式 ;
( 2 ) 波的 表达式 ;
( 3 ) x = 3 m 处的 P 点 的振动表达式 .
题目解答
答案
解：（１）（２）、由图可得，振幅A＝０.０２ｍ，波长为λ＝４ｍ，由波动方程
,初相位
, 代入各点得，
，O 点 的振动表达式为
,其波的表达式为
(3)将 x = 3 m 代入波的表达式可得
。
解析
步骤 1：确定波的参数
从图中可以看出，波的振幅 A = 0.02 m，波长 λ = 4 m。波速 u = 10 m/s，因此波的角频率 ω 可以通过公式 ω = 2πu/λ 计算得到。将 u = 10 m/s 和 λ = 4 m 代入，得到 ω = 2π × 10 / 4 = 5π rad/s。
步骤 2：确定初相位
从图中可以看出，t = 0 时，O 点的位移为 0，且速度为正，因此初相位 φ = -π/2。
步骤 3：写出 O 点的振动表达式
根据简谐振动的表达式 y = A cos(ωt + φ)，将 A = 0.02 m，ω = 5π rad/s，φ = -π/2 代入，得到 O 点的振动表达式为 y = 0.02 cos(5πt - π/2)。
步骤 4：写出波的表达式
根据平面简谐波的表达式 y = A cos[ω(t - x/u) + φ]，将 A = 0.02 m，ω = 5π rad/s，u = 10 m/s，φ = -π/2 代入，得到波的表达式为 y = 0.02 cos[5π(t - x/10) - π/2]。
步骤 5：写出 P 点的振动表达式
将 x = 3 m 代入波的表达式 y = 0.02 cos[5π(t - x/10) - π/2]，得到 P 点的振动表达式为 y = 0.02 cos[5π(t - 3/10) - π/2] = 0.02 cos(5πt - 1.5π - π/2) = 0.02 cos(5πt - 2π) = 0.02 cos(5πt)。
从图中可以看出，波的振幅 A = 0.02 m，波长 λ = 4 m。波速 u = 10 m/s，因此波的角频率 ω 可以通过公式 ω = 2πu/λ 计算得到。将 u = 10 m/s 和 λ = 4 m 代入，得到 ω = 2π × 10 / 4 = 5π rad/s。
步骤 2：确定初相位
从图中可以看出，t = 0 时，O 点的位移为 0，且速度为正，因此初相位 φ = -π/2。
步骤 3：写出 O 点的振动表达式
根据简谐振动的表达式 y = A cos(ωt + φ)，将 A = 0.02 m，ω = 5π rad/s，φ = -π/2 代入，得到 O 点的振动表达式为 y = 0.02 cos(5πt - π/2)。
步骤 4：写出波的表达式
根据平面简谐波的表达式 y = A cos[ω(t - x/u) + φ]，将 A = 0.02 m，ω = 5π rad/s，u = 10 m/s，φ = -π/2 代入，得到波的表达式为 y = 0.02 cos[5π(t - x/10) - π/2]。
步骤 5：写出 P 点的振动表达式
将 x = 3 m 代入波的表达式 y = 0.02 cos[5π(t - x/10) - π/2]，得到 P 点的振动表达式为 y = 0.02 cos[5π(t - 3/10) - π/2] = 0.02 cos(5πt - 1.5π - π/2) = 0.02 cos(5πt - 2π) = 0.02 cos(5πt)。