题目

由长期的统计资料知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为(4)/(15)，刮大风（用事件B表示）的概率为(7)/(15)，既下雨又刮大风的概率为(1)/(10)，求P(A|B),P(A cup B).

由长期的统计资料知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为$\frac{4}{15}$，刮大风（用事件B表示）的概率为$\frac{7}{15}$，既下雨又刮大风的概率为$\frac{1}{10}$，求$P(A|B)$,$P(A \cup B)$.

题目解答

答案

我们根据题目给出的条件来逐步解决这个问题。 --- ### 已知条件： - $ P(A) = \frac{4}{15} $（下雨的概率） - $ P(B) = \frac{7}{15} $（刮大风的概率） - $ P(A \cap B) = \frac{1}{10} $（既下雨又刮大风的概率） --- ### 第一步：求 $ P(A|B) $ 条件概率公式为： $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ 代入已知数据： $$ P(A|B) = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{15}} = \frac{1}{10} \times \frac{15}{7} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14} $$ --- ### 第二步：求 $ P(A \cup B) $ 并集概率公式为： $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$ 代入数据： $$ P(A \cup B) = \frac{4}{15} + \frac{7}{15} - \frac{1}{10} $$ 先通分，将所有分数化为以 30 为分母： - $ \frac{4}{15} = \frac{8}{30} $ - $ \frac{7}{15} = \frac{14}{30} $ - $ \frac{1}{10} = \frac{3}{30} $ 代入计算： $$ P(A \cup B) = \frac{8}{30} + \frac{14}{30} - \frac{3}{30} = \frac{19}{30} $$ --- ### 最终答案： - $ P(A|B) = \boxed{\frac{3}{14}} $ - $ P(A \cup B) = \boxed{\frac{19}{30}} $

解析

考查要点：本题主要考查条件概率和事件并集概率的计算，需要熟练掌握相关公式及其应用。

解题核心思路：

  1. 条件概率公式：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，直接利用已知的联合概率和事件B的概率计算。
  2. 并集概率公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，需注意避免重复计算交集部分的概率。

破题关键点：

  • 正确代入公式：明确区分条件概率与联合概率的关系，确保公式中的分子、分母对应正确。
  • 分数运算准确性：通分和化简过程中需仔细计算，避免低级错误。

第（1）题：求$P(A|B)$

应用条件概率公式

根据条件概率公式：
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
代入已知数据：
$P(A|B) = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{15}} = \frac{1}{10} \times \frac{15}{7} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$

第（2）题：求$P(A \cup B)$

应用并集概率公式

根据并集概率公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
代入数据：
$P(A \cup B) = \frac{4}{15} + \frac{7}{15} - \frac{1}{10}$

通分计算

将分数统一为分母30：
$\frac{4}{15} = \frac{8}{30}, \quad \frac{7}{15} = \frac{14}{30}, \quad \frac{1}{10} = \frac{3}{30}$
代入计算：
$P(A \cup B) = \frac{8}{30} + \frac{14}{30} - \frac{3}{30} = \frac{19}{30}$