6.求下列不定积分:-|||-(1) int (e)^-1xdx;-|||-(2)int |sin x|dx..-|||-7.设 '(arctan x)=(x)^2, 求f(x).-|||-8.举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数,也可能没有原函数.

步骤 1：分段积分
对于 $\int {e}^{-|x|}dx$，由于 $|x|$ 在 $x \geq 0$ 和 $x < 0$ 时有不同的表达式，因此需要分段积分。
步骤 2：计算积分
当 $x \geq 0$ 时，$|x| = x$，则 $\int {e}^{-|x|}dx = \int {e}^{-x}dx = -{e}^{-x} + C_1$。
当 $x < 0$ 时，$|x| = -x$，则 $\int {e}^{-|x|}dx = \int {e}^{x}dx = {e}^{x} + C_2$。
步骤 3：合并结果
将上述结果合并，得到 $\int {e}^{-|x|}dx = G(x) + C$，其中 $G(x) = \left \{ \begin{matrix} 2-{e}^{-x},x\geqslant 0\\ {e}^{x},x\lt 0;\end{matrix} \right.$
步骤 4：分段积分
对于 $\int |\sin x|dx$，由于 $|\sin x|$ 在 $2k\pi \leqslant x \leqslant (2k+1)\pi$ 和 $(2k+1)\pi \leqslant x \leqslant (2k+2)\pi$ 时有不同的表达式，因此需要分段积分。
步骤 5：计算积分
当 $2k\pi \leqslant x \leqslant (2k+1)\pi$ 时，$|\sin x| = \sin x$，则 $\int |\sin x|dx = -\cos x + C_1$。
当 $(2k+1)\pi \leqslant x \leqslant (2k+2)\pi$ 时，$|\sin x| = -\sin x$，则 $\int |\sin x|dx = \cos x + C_2$。
步骤 6：合并结果
将上述结果合并，得到 $\int |\sin x|dx = G(x) + C$，其中 $G(x) = \left \{ \begin{matrix} -\cos x+4k,\quad 2k\pi \leqslant x\leqslant (2k+1)\pi ,\\ \cos x+4k+2,(2k+1)\pi \leqslant x\leqslant (2k+2)\pi \end{matrix} \right.$，$k\in Z$。