题目
设A,B为n阶矩阵, 2A-B-AB=E ,^2=A ,其中E为n阶单位矩阵,-|||-(1)证明: A-B 为可逆矩阵,并求 ((A-B))^-1 ;-|||-(2)已知A= (} 1& 0& 0 0& 3& -1 0& 6& -2 ) . ,试求矩阵B.
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用已知条件 ${A}^{2}=A$ 和 2A-B-AB=E
由于 ${A}^{2}=A$ ，则有 $A-A^2=0$，即 $A(E-A)=0$。根据题目条件，我们有 $2A-B-AB=E$，可以改写为 $2A-B-AB=A-B+A-AB$，即 $A-B+A-AB=E$。
步骤 2：证明 A-B 为可逆矩阵
由步骤 1 可知，$A-B+A-AB=E$，可以改写为 $(A-B)+A(A-B)=E$，即 $(E-A)(A-B)=E$。根据逆矩阵的定义，如果存在矩阵C，使得AC=CA=E，则C是A的逆矩阵。因此，A-B为可逆矩阵，且 ${(A-B)}^{-1}=E+A$。
步骤 3：求矩阵B
由步骤 2 可知，$A-B={(E+A)}^{-1}$，则 $B=A-{(E+A)}^{-1}$。根据题目条件，A= $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 3& -1\\ 0& 6& -2\end{matrix} ) \right.$，则 $E+A= \left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 0& 4& -1\\ 0& 6& -1\end{matrix} ) \right.$。计算 ${(E+A)}^{-1}$，得到 ${(E+A)}^{-1}= \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{2}& 0& 0\\ 0& -\dfrac {1}{2}& \dfrac {1}{2}\\ 0& -3& 2\end{matrix} ) \right.$。因此，$B=A-{(E+A)}^{-1}= \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{2}& 0& 0\\ 0& 2& \dfrac {3}{2}\\ 0& 0& -4\end{matrix} ) \right.$。
由于 ${A}^{2}=A$ ，则有 $A-A^2=0$，即 $A(E-A)=0$。根据题目条件，我们有 $2A-B-AB=E$，可以改写为 $2A-B-AB=A-B+A-AB$，即 $A-B+A-AB=E$。
步骤 2：证明 A-B 为可逆矩阵
由步骤 1 可知，$A-B+A-AB=E$，可以改写为 $(A-B)+A(A-B)=E$，即 $(E-A)(A-B)=E$。根据逆矩阵的定义，如果存在矩阵C，使得AC=CA=E，则C是A的逆矩阵。因此，A-B为可逆矩阵，且 ${(A-B)}^{-1}=E+A$。
步骤 3：求矩阵B
由步骤 2 可知，$A-B={(E+A)}^{-1}$，则 $B=A-{(E+A)}^{-1}$。根据题目条件，A= $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 3& -1\\ 0& 6& -2\end{matrix} ) \right.$，则 $E+A= \left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 0& 4& -1\\ 0& 6& -1\end{matrix} ) \right.$。计算 ${(E+A)}^{-1}$，得到 ${(E+A)}^{-1}= \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{2}& 0& 0\\ 0& -\dfrac {1}{2}& \dfrac {1}{2}\\ 0& -3& 2\end{matrix} ) \right.$。因此，$B=A-{(E+A)}^{-1}= \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{2}& 0& 0\\ 0& 2& \dfrac {3}{2}\\ 0& 0& -4\end{matrix} ) \right.$。