求微分方程y'' + y = x cos 2x的特解。 解:所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的特征方程有两个根__1__。 由于__2__不是特征方程的根，所以应设y''为__3__， 把它带入所给方程，解得的一个特解为__4__。 A r_1 = -1, r_2 = 1 B r_1 = i, r_2 = -i C r_1 = r_2 = i

1. **特征根**：特征方程为 $r^2 + 1 = 0$，解得 $r_1 = i$，$r_2 = -i$。 2. **特解形式**：非齐次项为 $\cos 2x$，$\pm 2i$ 不是特征根，设特解为 $y^* = A \cos 2x + B \sin 2x$。 3. **代入求解**：求导并代入原方程，得 $-3A \cos 2x - 3B \sin 2x = \cos 2x$，解得 $A = -\frac{1}{3}$，$B = 0$。 答案： 1. $r_1 = i, r_2 = -i$ 2. $\pm 2i$ 不是特征根 3. $y^* = A \cos 2x + B \sin 2x$ 4. $y^* = -\frac{1}{3} \cos 2x$ \[ \boxed{ \begin{array}{ll} 1. & B \\ 2. & \pm 2i \text{ 不是特征根} \\ 3. & A \cos 2x + B \sin 2x \\ 4. & -\frac{1}{3} \cos 2x \\ \end{array} } \]