题目
2.求下列齐次方程满足所给初值条件的特解:-|||-(2) '=dfrac (x)(y)+dfrac (y)(x) (|)_(x=1)=2 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：引入变量
令 $u=\dfrac {y}{x}$ ,则 $y=ux$ ,对 $x$ 求导得 $y'=u+xu'$ 。
步骤 2：代入原方程
将 $y'$ 和 $u$ 的表达式代入原方程 $y'=\dfrac {x}{y}+\dfrac {y}{x}$ ,得 $u+xu'=\dfrac {1}{u}+u$ 。
步骤 3：分离变量
将方程 $u+xu'=\dfrac {1}{u}+u$ 化简为 $xu'=\dfrac {1}{u}$ ,进一步分离变量得 $udu=\dfrac {dx}{x}$ 。
步骤 4：积分
对分离变量后的方程两边积分,得 $\int udu=\int \dfrac {dx}{x}$ ,即 $\dfrac {1}{2}{u}^{2}=\ln |x|+C$ 。
步骤 5：代回原变量
将 $u=\dfrac {y}{x}$ 代入上式,得 $\dfrac {1}{2}{(\dfrac {y}{x})}^{2}=\ln |x|+C$ ,整理得 ${y}^{2}=2{x}^{2}(\ln |x|+C)$ 。
步骤 6：代入初值条件
代入初值条件 $x=1$ , $y=2$ ,得 $4=2(0+C)$ ,解得 $C=2$ 。
步骤 7：写出特解
将 $C=2$ 代入通解 ${y}^{2}=2{x}^{2}(\ln |x|+C)$ ,得特解 ${y}^{2}=2{x}^{2}(\ln x+2)$ 。
令 $u=\dfrac {y}{x}$ ,则 $y=ux$ ,对 $x$ 求导得 $y'=u+xu'$ 。
步骤 2：代入原方程
将 $y'$ 和 $u$ 的表达式代入原方程 $y'=\dfrac {x}{y}+\dfrac {y}{x}$ ,得 $u+xu'=\dfrac {1}{u}+u$ 。
步骤 3：分离变量
将方程 $u+xu'=\dfrac {1}{u}+u$ 化简为 $xu'=\dfrac {1}{u}$ ,进一步分离变量得 $udu=\dfrac {dx}{x}$ 。
步骤 4：积分
对分离变量后的方程两边积分,得 $\int udu=\int \dfrac {dx}{x}$ ,即 $\dfrac {1}{2}{u}^{2}=\ln |x|+C$ 。
步骤 5：代回原变量
将 $u=\dfrac {y}{x}$ 代入上式,得 $\dfrac {1}{2}{(\dfrac {y}{x})}^{2}=\ln |x|+C$ ,整理得 ${y}^{2}=2{x}^{2}(\ln |x|+C)$ 。
步骤 6：代入初值条件
代入初值条件 $x=1$ , $y=2$ ,得 $4=2(0+C)$ ,解得 $C=2$ 。
步骤 7：写出特解
将 $C=2$ 代入通解 ${y}^{2}=2{x}^{2}(\ln |x|+C)$ ,得特解 ${y}^{2}=2{x}^{2}(\ln x+2)$ 。