题目
(本小题17分 )已知函数 f(x)=mathrm(l)mathrm(n)(x)/(2-x)+ax+b(x-1())^3. (1)若 b=0，且 fprime (x)ge 0，求a的最小值； (2)证明：曲线 y=f(x)是中心对称图形； (3)若 f(x)>-2当且仅当 1<x<2，求b的取值范围.
$ ($本小题17分$ )$
已知函数$ f\left(x\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1{)}^{3}.$
$ \left(1\right)$若$ b=0$，且$ f\prime \left(x\right)\ge 0$，求a的最小值；
$ \left(2\right)$证明：曲线$ y=f\left(x\right)$是中心对称图形；
$ \left(3\right)$若$ f\left(x\right)>-2$当且仅当$ 1<x<2$，求b的取值范围.
已知函数$ f\left(x\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1{)}^{3}.$
$ \left(1\right)$若$ b=0$，且$ f\prime \left(x\right)\ge 0$，求a的最小值；
$ \left(2\right)$证明：曲线$ y=f\left(x\right)$是中心对称图形；
$ \left(3\right)$若$ f\left(x\right)>-2$当且仅当$ 1<x<2$，求b的取值范围.
题目解答
答案
解：$ \left(1\right)$由$ \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2-x}>0\\ 2-x\ne 2\end{array}\right.$，解得$ 0<x<2$，
所以函数$ f\left(x\right)$的定义域为$ (0,2)$，
当$ b=0$时，$ f\left(x\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}+ax$，
所以$ f\prime \left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}+a\ge 0$，对$ \forall 0<x<2$恒成立，
又$ \frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}+a=\frac{2}{x(2-x)}+a\ge 2+a$，当且仅当$ x=1$时取“=”，
所以只需$ 2+a\ge 0$，即$ a\ge -2$，
所以a的最小值为$ -2.$
$ \left(2\right)$证明：$ x\in (0,2)$，$ f(2-x)+f\left(x\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{2-x}{x}+a(2-x)+b(1-x{)}^{3}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1{)}^{3}=2a$，
所以$ f\left(x\right)$关于点$ (1,a)$中心对称．
$ \left(3\right)$因为$ f\left(x\right)>-2$当且仅当$ 1<x<2$，
所以$ f\left(1\right)=-2$，即$ a=-2$，
所以$ f\left(x\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}-2x+b(x-1{)}^{3}>-2$对$ \forall 1<x<2$恒成立，
$ f\prime \left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}-2+3b(x-1)=\frac{2(x-1{)}^{2}}{x(2-x)}+3b(x-1{)}^{2}=(x-1{)}^{2}[\frac{2}{x(2-x)}+3b]$，
令$ g\left(x\right)=\frac{2}{x(2-x)}+3b$，
所以必有$ g\left(1\right)=2+3b\ge 0$，得到$ b\ge -\frac{2}{3}($必要性$ )$，
否则$ b<-\frac{2}{3}$，存在$ x\in (1,\delta )$使$ f\prime \left(x\right)<0$，$ f\left(x\right)$在$ (1,2)$上单调递减，
所以$ f\left(x\right)<f\left(1\right)=-2$，
当$ b\ge -\frac{2}{3}$时，对$ \forall x\in (1,2)$，$ f\left(x\right)\ge \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}-2x-\frac{2}{3}(x-1{)}^{3}=h(x)$，
$ h\prime \left(x\right)=\frac{2(x-1{)}^{2}}{x(2-x)}-2(x-1{)}^{2}=2(x-1{)}^{2}[\frac{1}{x(2-x)}-1]>0$，对$ \forall x\in (1,2)$恒成立，
所以$ h\left(x\right)>h\left(1\right)=-2$符合题意，
综上所述：$ b\ge -\frac{2}{3}$，
所以b的取值范围为$ [-\frac{2}{3},+\infty ).$
所以函数$ f\left(x\right)$的定义域为$ (0,2)$，
当$ b=0$时，$ f\left(x\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}+ax$，
所以$ f\prime \left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}+a\ge 0$，对$ \forall 0<x<2$恒成立，
又$ \frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}+a=\frac{2}{x(2-x)}+a\ge 2+a$，当且仅当$ x=1$时取“=”，
所以只需$ 2+a\ge 0$，即$ a\ge -2$，
所以a的最小值为$ -2.$
$ \left(2\right)$证明：$ x\in (0,2)$，$ f(2-x)+f\left(x\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{2-x}{x}+a(2-x)+b(1-x{)}^{3}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1{)}^{3}=2a$，
所以$ f\left(x\right)$关于点$ (1,a)$中心对称．
$ \left(3\right)$因为$ f\left(x\right)>-2$当且仅当$ 1<x<2$，
所以$ f\left(1\right)=-2$，即$ a=-2$，
所以$ f\left(x\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}-2x+b(x-1{)}^{3}>-2$对$ \forall 1<x<2$恒成立，
$ f\prime \left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}-2+3b(x-1)=\frac{2(x-1{)}^{2}}{x(2-x)}+3b(x-1{)}^{2}=(x-1{)}^{2}[\frac{2}{x(2-x)}+3b]$，
令$ g\left(x\right)=\frac{2}{x(2-x)}+3b$，
所以必有$ g\left(1\right)=2+3b\ge 0$，得到$ b\ge -\frac{2}{3}($必要性$ )$，
否则$ b<-\frac{2}{3}$，存在$ x\in (1,\delta )$使$ f\prime \left(x\right)<0$，$ f\left(x\right)$在$ (1,2)$上单调递减，
所以$ f\left(x\right)<f\left(1\right)=-2$，
当$ b\ge -\frac{2}{3}$时，对$ \forall x\in (1,2)$，$ f\left(x\right)\ge \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x}{2-x}-2x-\frac{2}{3}(x-1{)}^{3}=h(x)$，
$ h\prime \left(x\right)=\frac{2(x-1{)}^{2}}{x(2-x)}-2(x-1{)}^{2}=2(x-1{)}^{2}[\frac{1}{x(2-x)}-1]>0$，对$ \forall x\in (1,2)$恒成立，
所以$ h\left(x\right)>h\left(1\right)=-2$符合题意，
综上所述：$ b\ge -\frac{2}{3}$，
所以b的取值范围为$ [-\frac{2}{3},+\infty ).$