某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐.则闸门的一侧所受水的压力为_____.

考查要点：本题主要考查液体压强的计算以及积分法求总压力的应用。需要学生掌握如何将不规则形状的平面压力问题转化为积分问题，并正确建立坐标系、确定各深度处的宽度函数。

解题核心思路：

1. 建立坐标系：以较长底边为x轴，垂直向下为y轴，确定积分变量y的范围。
2. 确定宽度函数：通过梯形的几何关系，推导出不同深度y处的水平条宽度。
3. 积分求总压力：将每个微小水平条的压力（压强×面积）积分，得到总压力。

破题关键点：

• 正确写出梯形左右腰的方程，从而得到任意深度y处的宽度。
• 正确设置积分表达式，注意压强随深度线性变化的特性。

建立坐标系与几何分析

以较长底边（10m）为x轴，垂直向下为y轴，水面位于y=0处，闸门高度为20m，积分范围为$y \in [0, 20]$。

确定宽度函数

• 右腰方程：从点$(5, 0)$到$(3, 20)$，斜率为$\frac{3-5}{20-0} = -\frac{1}{10}$，方程为$x = 5 - \frac{y}{10}$。
• 左腰方程：从点$(-5, 0)$到$(-3, 20)$，斜率为$\frac{-3+5}{20-0} = \frac{1}{10}$，方程为$x = -5 + \frac{y}{10}$。
• 宽度：右腰与左腰的x坐标之差为：
  $\left(5 - \frac{y}{10}\right) - \left(-5 + \frac{y}{10}\right) = 10 - \frac{y}{5} \, \text{m}$

积分求总压力

每个微小水平条的面积为$\left(10 - \frac{y}{5}\right) dy$，压力为$g y \left(10 - \frac{y}{5}\right) dy$。总压力为：
$\int_0^{20} g y \left(10 - \frac{y}{5}\right) dy = g \int_0^{20} \left(10y - \frac{y^2}{5}\right) dy$
计算积分：
$g \left[5y^2 - \frac{y^3}{15}\right]_0^{20} = g \left(5 \cdot 20^2 - \frac{20^3}{15}\right) = g \left(2000 - \frac{1600}{3}\right) = \frac{4400}{3} g$
取$g = 9.8 \, \text{m/s}^2$，总压力约为$14373 \, \text{N}$。