int_(0)^2 dy int_(y^2)^2y f(x, y)dx 交换积分顺序后为（）A. int_(0)^4 dx int_((x)/(2))^sqrt(x) f(x, y)dyB. int_(0)^2 dx int_(x^2)^2x f(x, y)dyC. int_(0)^4 dx int_(sqrt(x))^(x)/(2) f(x, y)dyD. int_(0)^2 dx int_(2x)^x^2 f(x, y)dy

本题考查二重二重积分交换积分顺序的知识点。解题思路是先根据已知的积分限确定积分区域，再根据积分区域确定交换积分顺序后的积分限。

步骤一：确定积分区域

已知积分顺序为$\int_{0}^{2} dy \int_{y^2}^{2y} f(x, y)dx$，这表示先对$x$积分，积分下限是$x = y^2$，上限是$x = 2y$；后对$y$积分，积分下限是$y = 0$，上限是$y = 2$。
联立$\begin{cases}x = y^2\\x = 2y\end{cases}$，求解交点：
将$x = 2y$代入$x = y^2$，得到$2y=y^2$，移项可得$y^2 - 2y = 0$，提取公因式$y$得$y(y - 2 = 0$，解得$y = 0$或$y = 2$。
当$y = 0$时，$x = 0$；当$y = 2$时，$x = = 4$，所以两曲线的交点为$(0,0)$和$(4,2)$。

步骤二：交换积分顺序

交换积分顺序后为先对$y$积分，后对$x$积分。
对于$固定的\(x$值，$y$的下限是由$x = 2y$解出$y=\frac{x}{2}$，$y$的上限是由$x = y^2$解出$y=\sqrt{x}$（因为$y\geq0$，在积分区域内）。
$x$的取值范围是从交点的横坐标可知是从$0$到$4$。
所以交换积分顺序后为$\int_{0}^{4} dx \int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}} f(x, y)dy$。