题目

【11】lim_(ntoinfty)(sqrt(n+2sqrt(n))-sqrt(n+sqrt(n)))

【11】$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2\sqrt{n}}-\sqrt{n+\sqrt{n}}\right)$

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2\sqrt{n}}-\sqrt{n+\sqrt{n}}\right)$，我们可以使用有理化的方法。具体步骤如下：

  1. 有理化表达式:
    $\sqrt{n+2\sqrt{n}} - \sqrt{n+\sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{n+2\sqrt{n}} - \sqrt{n+\sqrt{n}})(\sqrt{n+2\sqrt{n}} + \sqrt{n+\sqrt{n}})}{\sqrt{n+2\sqrt{n}} + \sqrt{n+\sqrt{n}}}$
    分子使用平方差公式展开，得到：
    $(\sqrt{n+2\sqrt{n}})^2 - (\sqrt{n+\sqrt{n}})^2 = (n + 2\sqrt{n}) - (n + \sqrt{n}) = \sqrt{n}$
    所以，表达式变为：
    $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+2\sqrt{n}} + \sqrt{n+\sqrt{n}}}$

  2. 简化分母:
    当 $n$ 趋于无穷大时，$\sqrt{n+2\sqrt{n}}$ 和 $\sqrt{n+\sqrt{n}}$ 都近似等于 $\sqrt{n}$。为了更精确地简化，我们可以将分母中的项除以 $\sqrt{n}$:
    $\sqrt{n+2\sqrt{n}} = \sqrt{n}\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{n}}}$
    $\sqrt{n+\sqrt{n}} = \sqrt{n}\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}$
    所以，分母变为：
    $\sqrt{n}\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{n}}} + \sqrt{n}\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \sqrt{n}\left(\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{n}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}\right)$
    因此，表达式现在是：
    $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{n}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{n}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}}$

  3. 求极限:
    当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{2}{\sqrt{n}}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 都趋于 0。所以，分母的极限是：
    $\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0} = 1 + 1 = 2$
    因此，原极限是：
    $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{n}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}} = \frac{1}{2}$

所以，答案是 $\boxed{\frac{1}{2}}$。

解析

本题考查数列极限的计算，解题解题思路是先对原式进行有理化处理，然后通过化简式子，再根据极限的运算法则求出极限值。

  1. 有理化表达式：
    对于$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n + 2\sqrt{n}} - \sqrt{n + \sqrt{n}}\right)}$，为了消除根式相减的形式，我们使用平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}}$对其进行有理化，即：
    $\sqrt{n + 2\sqrt{n}} - \sqrt{n + \sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n + 2\sqrt{n}} - \sqrt{n + \sqrt{n}})(\sqrt{n + 2\sqrt{n}} + \sqrt{n + \sqrt{n}})}{\sqrt{n + 2\sqrt{n}} + \sqrt{n + \sqrt{n}}$}})
    分子根据平方差公式展开可得：
    $(\sqrt{n + 2\sqrt{n}})^2 - (\sqrt{n + \sqrt{n}})^2=(n + 2\sqrt{n}) - (n + \sqrt{n})=\sqrt{n}$
    所以原式变为$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n + 2\sqrt{n}} - \sqrt{n + \sqrt{n}}\right\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 2\sqrt{n}} + \sqrt{n + \sqrt{n}}}$
  2. 简化分母
    为了便于求极限，我们对分母进行处理。将分母中的$\sqrt{n + 2\sqrt{n}}$和$\sqrt{n + 2\sqrt{n}}$分别变形：
    $\sqrt{n + 2\sqrt{n}}=\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}$
    $\sqrt{n + \sqrt{n}}=\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$
    则分母变为$\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{n}}+\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}=\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}\right)$
    此时原式变为$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}\right)}\}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$
  3. 求极限
    根据极限的运算法则，当$n\to\to\infty$时，$\frac{2}{\sqrt{n}}\to0$，$\frac{1}{\sqrt{n}}\to0$。
    则$\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}=\sqrt{1 + 0}=1$，$\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}=\sqrt{1+0}=1$。
    所以$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}}\right)=1 + 1 = 2$。
    那么$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}}}}=\frac{1}{2}$。