[题目] Delta ABC 的内角A.B.c的对边分别为ab.c,已-|||-知 sin dfrac (A+C)(2)=bsin A.-|||-(1)求B;-|||-(2)若 Delta ABC 为锐角三角形,且 =1, 求 Delta ABC 面积的取-|||-值范围.

考查要点：本题主要考查正弦定理的应用、三角恒等变换及三角形面积的取值范围分析。

解题思路：

1. 第一问：利用正弦定理将边角关系转化为三角函数方程，结合角度和为$180^\circ$的性质，通过三角恒等式求解角$B$。
2. 第二问：在锐角三角形条件下，结合角度范围和正弦定理，将面积表示为关于角$C$的函数，通过分析函数单调性确定取值范围。

破题关键：

• 角度关系：利用$A+B+C=180^\circ$，将$\frac{A+C}{2}$转化为与$B$相关表达式。
• 锐角条件：确定角$C$的范围为$30^\circ < C < 90^\circ$，进而分析边$a$的取值范围。

第（1）题

应用正弦定理

由正弦定理，$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$，代入原式$a \sin \frac{A+C}{2} = b \sin A$得：
$\sin A \sin \frac{A+C}{2} = \sin B \sin A$

化简方程

因$\sin A \neq 0$，两边约去$\sin A$得：
$\sin \frac{A+C}{2} = \sin B$

角度关系转化

由$A+B+C=180^\circ$，得$\frac{A+C}{2} = 90^\circ - \frac{B}{2}$，代入上式：
$\sin \left(90^\circ - \frac{B}{2}\right) = \sin B \implies \cos \frac{B}{2} = \sin B$

解三角方程

利用$\sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$，方程变为：
$\cos \frac{B}{2} = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$
若$\cos \frac{B}{2} \neq 0$，则$\sin \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$，解得$\frac{B}{2} = 30^\circ$，即$B = 60^\circ$。

第（2）题

面积表达式

由$B=60^\circ$，面积公式$S = \frac{1}{2}ac \sin B$，代入$c=1$得：
$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a$

边$a$的表达式

由正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$，得：
$a = \frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin(120^\circ - C)}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{2 \tan C} + \frac{1}{2}$

锐角条件分析

因$\Delta ABC$为锐角三角形，$A = 120^\circ - C$需满足：
$30^\circ < C < 90^\circ \quad \text{且} \quad 30^\circ < 120^\circ - C < 90^\circ$
解得$30^\circ < C < 90^\circ$。

分析$a$的范围

当$C \to 30^\circ$时，$a \to 2$；当$C \to 90^\circ$时，$a \to \frac{1}{2}$，故$a \in \left(\frac{1}{2}, 2\right)$。

面积范围

代入$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a$，得面积范围：
$\frac{\sqrt{3}}{8} < S < \frac{\sqrt{3}}{2}$