(8) =(e)^-xsin x ;

本题考查复合函数求导法则以及乘积的求导法则。解题思路是先根据乘积的求导法则求出函数$y = e^{-x}\sin x$的一阶导数$y'$，再对$y'$求导得到二阶导数$y''$。

步骤一：求一阶导数$y'$

根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，设$u = e^{-x}$，$v = \sin x$。

• 对$u = e^{-x}$求导，根据复合函数求导法则，令$t=-x$，则$u = e^t$，先对$e^t$关于$t$求导为$e^t$，再对$t$关于$x$求导为$-1$，根据复合函数求导公式$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$，可得$u^\prime = e^{-x}\cdot(-1)= -e^{-x}$。
• 对$v = \sin x$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime = \cos x$，可得$v^\prime = \cos x$。
  将$u^\prime$、$v$、$u$、$v^\prime$代入乘积求导法则公式可得：
  $y^\prime = u^\prime v + uv^\prime = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$

步骤二：求二阶导数$y''$

同样根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，设$u = e^{-x}$，$v = \cos x - \sin x$。

• 对$u = e^{-x}$求导，由步骤一可知$u^\prime = -e^{-x}$。
• 对$v = \cos x - \sin x$求导，根据求导公式$(\cos x)^\prime = -\sin x$，$(\sin x)^\prime = \cos x$，可得$v^\prime = -\sin x - \cos x$。
  将$u^\prime$、$v$、$u$、$v^\prime$代入乘积求导法则公式可得：
  $\begin{align*}y''&=u^\prime v + uv^\prime\\&= -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x)\\&= -e^{-x}\cos x + e^{-x}\sin x - e^{-x}\sin x - e^{-x}\cos x\\&= -2e^{-x}\cos x\end{align*}$