题目
设-|||-.f(x)= { sin x, 0leqslant xleqslant pi , 0, xlt 0或xgt pi f(t)dt 在 (-infty ,+infty ) 内的表达式.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
根据函数$f(x)$的定义，我们需要分三种情况讨论积分区间：$x<0$，$0\leqslant x\leqslant \pi$，$x>\pi$。
步骤 2：计算$x<0$时的积分
当$x<0$时，$f(t)=0$，因此$\Phi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=0$。
步骤 3：计算$0\leqslant x\leqslant \pi$时的积分
当$0\leqslant x\leqslant \pi$时，$f(t)=\frac{1}{2}\sin t$，因此$\Phi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{2}\sin tdt$。计算这个积分，我们得到$\Phi(x)=\frac{1}{2}[-\cos t]_{0}^{x}=\frac{1}{2}(-\cos x+1)=\frac{1-\cos x}{2}$。
步骤 4：计算$x>\pi$时的积分
当$x>\pi$时，$f(t)=0$，因此$\Phi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\sin tdt+\int_{\pi}^{x}0dt$。计算这个积分，我们得到$\Phi(x)=\frac{1}{2}[-\cos t]_{0}^{\pi}+\int_{\pi}^{x}0dt=\frac{1}{2}(-\cos \pi+1)=1$。
根据函数$f(x)$的定义，我们需要分三种情况讨论积分区间：$x<0$，$0\leqslant x\leqslant \pi$，$x>\pi$。
步骤 2：计算$x<0$时的积分
当$x<0$时，$f(t)=0$，因此$\Phi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=0$。
步骤 3：计算$0\leqslant x\leqslant \pi$时的积分
当$0\leqslant x\leqslant \pi$时，$f(t)=\frac{1}{2}\sin t$，因此$\Phi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{2}\sin tdt$。计算这个积分，我们得到$\Phi(x)=\frac{1}{2}[-\cos t]_{0}^{x}=\frac{1}{2}(-\cos x+1)=\frac{1-\cos x}{2}$。
步骤 4：计算$x>\pi$时的积分
当$x>\pi$时，$f(t)=0$，因此$\Phi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\sin tdt+\int_{\pi}^{x}0dt$。计算这个积分，我们得到$\Phi(x)=\frac{1}{2}[-\cos t]_{0}^{\pi}+\int_{\pi}^{x}0dt=\frac{1}{2}(-\cos \pi+1)=1$。