已知函数 f(x) = (1+x)/(sin x) - (1)/(x)，记 a = lim_(x to 0) f(x)。(1) 求 a 的值；(2) 若当 x to 0 时，f(x) - a 与 x^k 是同阶无穷小，求常数 k 的值。

我们来逐步解决这个题目。

题目函数：

$f(x) = \frac{1+x}{\sin x} - \frac{1}{x}$
记 $ a = \lim_{x \to 0} f(x) $

第(1)问：求 $ a = \lim_{x \to 0} f(x) $

我们要求：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1+x}{\sin x} - \frac{1}{x} \right)$

第一步：分析极限行为

当 $ x \to 0 $ 时，有以下常见等价无穷小：

• $ \sin x \sim x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $
• 所以 $ \frac{1}{\sin x} \sim \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + o(x) $（可以通过展开得到）

但我们也可以直接对整个表达式进行泰勒展开，更系统地处理。

第二步：对 $ f(x) $ 进行泰勒展开

我们将在 $ x = 0 $ 附近对 $ f(x) $ 展开。

首先，展开 $ \sin x $：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$

所以：
$\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)} = \frac{1}{x(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2))} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)}$

利用公式 $ \frac{1}{1 - u} = 1 + u + u^2 + \cdots $，当 $ u \to 0 $：
$\frac{1}{1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)} = 1 + \frac{x^2}{6} + o(x^2)$

所以：
$\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} \left(1 + \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right) = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + o(x)$

接下来计算 $ \frac{1+x}{\sin x} $：
$\frac{1+x}{\sin x} = (1+x) \cdot \frac{1}{\sin x} = (1+x)\left( \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + o(x) \right)$

展开乘法：
$= 1 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{x}{6} \right) + x \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{x}{6} \right) + o(x) = \left( \frac{1}{x} + \frac{x}{6} \right) + \left( 1 + \frac{x^2}{6} \right) + o(x)$

注意：$ \frac{x^2}{6} $ 是 $ o(x) $，所以可以合并为：
$= \frac{1}{x} + 1 + \frac{x}{6} + o(x)$

现在代入原函数：
$f(x) = \frac{1+x}{\sin x} - \frac{1}{x} = \left( \frac{1}{x} + 1 + \frac{x}{6} + o(x) \right) - \frac{1}{x} = 1 + \frac{x}{6} + o(x)$

因此，当 $ x \to 0 $ 时：
$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

所以第(1)问答案是：

$\boxed{a = 1}$

第(2)问：若当 $ x \to 0 $ 时，$ f(x) - a $ 与 $ x^k $ 是同阶无穷小，求常数 $ k $

我们已经知道 $ a = 1 $，所以：
$f(x) - a = f(x) - 1$

从上面的展开：
$f(x) = 1 + \frac{x}{6} + o(x) \Rightarrow f(x) - 1 = \frac{x}{6} + o(x)$

这说明：
$f(x) - 1 \sim \frac{x}{6} \quad \text{当 } x \to 0$

即 $ f(x) - a $ 与 $ x $ 同阶。

因此，它与 $ x^k $ 同阶无穷小，说明：
$f(x) - a \sim C x^k \quad (C \ne 0)$

而我们得到的是 $ \frac{x}{6} $，即 $ k = 1 $

验证是否真的是同阶（即比值极限为非零常数）：

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{6} + o(x)}{x} = \frac{1}{6} \ne 0$

所以确实是与 $ x^1 $ 同阶无穷小。

所以第(2)问答案是：

$\boxed{k = 1}$

最终答案：

(1) $ \boxed{a = 1} $

(2) $ \boxed{k = 1} $