(25) int (cos )^2(omega t+varphi )dt;

本题主要考查三角函数的积分计算，关键是利用二倍角公式对被积函数进行降幂处理，再积分求解。

步骤1：利用二倍角公式降幂

对于积分$\int \cos^2(\omega t + \varphi)dt$，先使用余弦的二倍角公式：
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
令$x = \omega t + \varphi$，则：
$\cos^2(\omega t + \varphi) = \frac{1 + \cos(2(\omega t + \varphi))}{2} = \frac{1 + \cos(2\omega t + 2\varphi)}{2}$

步骤2：拆分积分并计算

将上式代入积分，拆分得：
$\int \cos^2(\omega t + \varphi)dt = \frac{1}{2}\int \left[1 + \cos(2\omega t + 2\varphi)\right]dt = \frac{1}{2}\left(\int 1dt + \int \cos(2\omega t + 2\varphi)dt\right)$

• 第一个积分：$\int 1dt = t + C_1$
• 第二个积分：对$\cos(2\omega t + 2\varphi)$积分，利用公式$\int \cos(ax + b)dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C_2$，得：
  $\int \cos(2\omega t + 2\varphi)dt = \frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t + 2\varphi) + C_2$

步骤3：合并结果

将两部分积分结果合并，整理得：
$\int \cos^2(\omega t + \varphi)dt = \frac{1}{2}\left(t + \frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t + 2\varphi)\right) + C = \frac{t}{2} + \frac{\sin(2\omega t + 2\varphi)}{4\omega} + C$