题目
五 、(本题满分9分)计算不定积分int dfrac (x{e)^arctan x}({(1+{x)^2)}^3/2}dx.
五 、(本题满分9分)
计算不定积分
题目解答
答案
[分析] 被积函数含有根号
,典型地应作代换:x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx,同样可考虑作变换:arctanx=t,即 x=tant.
,典型地应作代换:x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx,同样可考虑作变换:arctanx=t,即 x=tant.[详解] 设
,则
,则
=
=
又
=
=
,
,故 
因此 =
==
解析
步骤 1：代换
设$x=\tan t$，则$dx = \sec^2 t dt$。代入原积分，得到$\int \dfrac {x{e}^{\arctan x}}{{(1+{x}^{2})}^{3/2}}dx$=$\int \dfrac {{e}^{t}\tan t}{{(1+{\tan }^{2}t)}^{3/2}}{\sec }^{2}tdt$=$\int {e}^{t}\sin tdt$。
步骤 2：分部积分
使用分部积分法，设$u = e^t$，$dv = \sin t dt$，则$du = e^t dt$，$v = -\cos t$。因此，$\int {e}^{t}\sin tdt = -e^t \cos t + \int e^t \cos t dt$。
步骤 3：再次分部积分
对$\int e^t \cos t dt$再次使用分部积分法，设$u = e^t$，$dv = \cos t dt$，则$du = e^t dt$，$v = \sin t$。因此，$\int e^t \cos t dt = e^t \sin t - \int e^t \sin t dt$。
步骤 4：求解
将步骤3的结果代入步骤2，得到$\int {e}^{t}\sin tdt = -e^t \cos t + e^t \sin t - \int e^t \sin t dt$。整理得到$2\int {e}^{t}\sin tdt = e^t (\sin t - \cos t)$，从而$\int {e}^{t}\sin tdt = \dfrac {1}{2}e^t (\sin t - \cos t) + C$。
步骤 5：回代
将$t = \arctan x$代回，得到$\int \dfrac {x{e}^{\arctan x}}{{(1+{x}^{2})}^{3/2}}dx$=$\dfrac {1}{2}{e}^{\arctan x}(\dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}}-\dfrac {1}{\sqrt {1+{x}^{2}}})+C$=$\dfrac {(x-1){e}^{\arctan x}}{2\sqrt {1+{x}^{2}}}+C$。
设$x=\tan t$，则$dx = \sec^2 t dt$。代入原积分，得到$\int \dfrac {x{e}^{\arctan x}}{{(1+{x}^{2})}^{3/2}}dx$=$\int \dfrac {{e}^{t}\tan t}{{(1+{\tan }^{2}t)}^{3/2}}{\sec }^{2}tdt$=$\int {e}^{t}\sin tdt$。
步骤 2：分部积分
使用分部积分法，设$u = e^t$，$dv = \sin t dt$，则$du = e^t dt$，$v = -\cos t$。因此，$\int {e}^{t}\sin tdt = -e^t \cos t + \int e^t \cos t dt$。
步骤 3：再次分部积分
对$\int e^t \cos t dt$再次使用分部积分法，设$u = e^t$，$dv = \cos t dt$，则$du = e^t dt$，$v = \sin t$。因此，$\int e^t \cos t dt = e^t \sin t - \int e^t \sin t dt$。
步骤 4：求解
将步骤3的结果代入步骤2，得到$\int {e}^{t}\sin tdt = -e^t \cos t + e^t \sin t - \int e^t \sin t dt$。整理得到$2\int {e}^{t}\sin tdt = e^t (\sin t - \cos t)$，从而$\int {e}^{t}\sin tdt = \dfrac {1}{2}e^t (\sin t - \cos t) + C$。
步骤 5：回代
将$t = \arctan x$代回，得到$\int \dfrac {x{e}^{\arctan x}}{{(1+{x}^{2})}^{3/2}}dx$=$\dfrac {1}{2}{e}^{\arctan x}(\dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}}-\dfrac {1}{\sqrt {1+{x}^{2}}})+C$=$\dfrac {(x-1){e}^{\arctan x}}{2\sqrt {1+{x}^{2}}}+C$。