题目
求由下列各曲线所围成的图形的面积：(1)rho =2acostheta；(2)rho =2a(2+costheta ).
求由下列各曲线所围成的图形的面积：
(1)$\rho =2acos\theta$；
(2)$\rho =2a(2+cos\theta )$.
题目解答
答案
(1)∵$\rho =2acos\theta $，∴$\rho ^2=2a\rho cos\theta $，$x^2+y^2=2ax$，$(x-a)^2+y^2=a^2$
∴图形为半径为$|a|$的圆，$S=\pi r^2=\pi a^2$.
(2)积分得$S=\int_{0}^{2\pi} {\frac{1}{2}\rho ^2 }\,{\rm d\theta }$
$=2a^2\int_{0}^{2\pi} {(4+4cos\theta +cos^2\theta) }\,{\rm d\theta }$
$=2a^2\int_{0}^{2\pi} {(\frac{9}{2}+4cos\theta +\frac{cos2\theta }{2} )}\,{\rm d\theta }$
$=2a^2(\frac{9\theta }{2}+4sin\theta +\frac{1}{4} sin2\theta )|_{0}^{2\pi}$
$=18\pi a^2$
解析
步骤 1：计算曲线$\rho =2acos\theta$所围成的图形面积
曲线$\rho =2acos\theta$是极坐标形式的圆的方程，其中心在极坐标系的$x$轴上，半径为$|a|$。将极坐标方程转换为直角坐标方程，得到$(x-a)^2+y^2=a^2$，这是一个半径为$|a|$的圆。因此，所求面积为圆的面积，即$S=\pi r^2=\pi a^2$。
步骤 2：计算曲线$\rho =2a(2+cos\theta)$所围成的图形面积
曲线$\rho =2a(2+cos\theta)$是极坐标形式的图形，为了计算其面积，需要使用极坐标下的面积公式$S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\theta$。将$\rho =2a(2+cos\theta)$代入公式，得到$S=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} [2a(2+cos\theta)]^2 d\theta$。展开并简化积分表达式，得到$S=2a^2\int_{0}^{2\pi} (4+4cos\theta+cos^2\theta) d\theta$。进一步简化积分表达式，得到$S=2a^2\int_{0}^{2\pi} (\frac{9}{2}+4cos\theta+\frac{cos2\theta}{2}) d\theta$。计算积分，得到$S=2a^2(\frac{9\theta}{2}+4sin\theta+\frac{1}{4}sin2\theta)|_{0}^{2\pi}$。代入上下限，得到$S=18\pi a^2$。
曲线$\rho =2acos\theta$是极坐标形式的圆的方程，其中心在极坐标系的$x$轴上，半径为$|a|$。将极坐标方程转换为直角坐标方程，得到$(x-a)^2+y^2=a^2$，这是一个半径为$|a|$的圆。因此，所求面积为圆的面积，即$S=\pi r^2=\pi a^2$。
步骤 2：计算曲线$\rho =2a(2+cos\theta)$所围成的图形面积
曲线$\rho =2a(2+cos\theta)$是极坐标形式的图形，为了计算其面积，需要使用极坐标下的面积公式$S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\theta$。将$\rho =2a(2+cos\theta)$代入公式，得到$S=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} [2a(2+cos\theta)]^2 d\theta$。展开并简化积分表达式，得到$S=2a^2\int_{0}^{2\pi} (4+4cos\theta+cos^2\theta) d\theta$。进一步简化积分表达式，得到$S=2a^2\int_{0}^{2\pi} (\frac{9}{2}+4cos\theta+\frac{cos2\theta}{2}) d\theta$。计算积分，得到$S=2a^2(\frac{9\theta}{2}+4sin\theta+\frac{1}{4}sin2\theta)|_{0}^{2\pi}$。代入上下限，得到$S=18\pi a^2$。