21.设随机变量(X Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) x+y, 0lt xlt 1,0lt ylt 1 0, .-|||-,-|||-分别求(1) Z=X+Y ,(2) Z=XY 的概率密度.

步骤 1：求 Z=X+Y 的概率密度
- 首先，我们定义 Z=X+Y，我们需要找到 Z 的概率密度函数 ${f}_{Z}(z)$。
- 为了找到 ${f}_{Z}(z)$，我们需要使用卷积公式，即 ${f}_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, z-x) dx$。
- 由于 f(x,y) 在 0- 当 0- 当 1≤z<2 时，积分范围为 z-1 到 1，${f}_{Z}(z) = \int_{z-1}^{1} (x + z-x) dx = \int_{z-1}^{1} z dx = 2z - z^2$。
- 当 z<0 或 z≥2 时，${f}_{Z}(z) = 0$。

步骤 2：求 Z=XY 的概率密度
- 定义 Z=XY，我们需要找到 Z 的概率密度函数 ${f}_{Z}(z)$。
- 使用变换法，我们首先找到 Z 的累积分布函数 ${F}_{Z}(z)$，然后求导得到 ${f}_{Z}(z)$。
- ${F}_{Z}(z) = P(Z \leq z) = P(XY \leq z)$。
- 当 0- ${f}_{Z}(z) = \frac{d}{dz} {F}_{Z}(z) = 1 - \ln(z) - 1 = -\ln(z)$。
- 当 z<0 或 z≥1 时，${f}_{Z}(z) = 0$。