7. int dfrac (sin x)(1+{cos )^2x}dx=-|||-__

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是利用变量代换法处理含有三角函数的积分。

解题核心思路：
观察到被积函数中的分子$\sin x$与分母中的$\cos^2 x$存在导数关系，即$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$。通过令$u = \cos x$进行代换，将原积分转化为关于$u$的简单积分形式，从而快速求解。

破题关键点：

1. 识别代换对象：选择$\cos x$作为代换变量，因为其导数与分子$\sin x$相关。
2. 处理负号：注意代换过程中$\sin x dx = -du$，需正确处理符号。
3. 标准积分公式：$\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C$，直接应用即可。

步骤1：变量代换
令$u = \cos x$，则$du = -\sin x dx$，即$\sin x dx = -du$。

步骤2：改写积分
将原积分中的变量替换为$u$：
$\int \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int \frac{-du}{1+u^2}.$

步骤3：积分计算
利用标准积分公式$\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C$，得：
$-\int \frac{1}{1+u^2} du = -\arctan u + C.$

步骤4：回代变量
将$u = \cos x$代回，最终结果为：
$-\arctan(\cos x) + C.$