题目

7.设随机变量（X,Y）的概率分布为Y/X -1 0 1-|||--1 1/8 1/8 1/8-|||-0 1/ 8 0 1/8-|||-1 1/8 1/8 1/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。

7.设随机变量（X,Y）的概率分布为

$\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline&&&\\Y/X&-1&0&1\\\hline-1&1/8&1/8&1/8\\\hline0&1/8&0&1/8\\\hline1&1/8&1/8&1/8\\\hline\end{array}$

验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。

题目解答

答案

解答如下：

先求出边缘分布律如下：

$\begin{array}{l|l|l|l}x&-1&0&1\\\hline p_k&3/8&2/8&3/8\end{array}$

$\begin{array}{l|l|l|l}Y&-1&0&1\\\hline\\p_k&3/8&2/8&3/8\end{array}$

$\begin{aligned} \text{易见} \\ P\{X=\mathbf{0},Y=\mathbf{0}\}=\mathbf{0}\neq P\{X=\mathbf{0}\}P\{Y=\mathbf{0}\} \\ \text{故X和Y不是相互独立的.} \\ \text{又知X和Y具有相同的分布律,且有} \\ E(X)=E(Y)=(-1)\times{\frac{3}{8}}+1\times{\frac{3}{8}}=0 \\ E(XY)=\sum_{j=1}^{3}\sum_{i=1}^{3}x_{i}y_{j}p_{ij}= \\ (-1)(-1)\times\frac{1}{8}+(-1)\times1\times\frac{1}{8} \\ +1\times(-1)\times\frac18+1\times1\times\frac18=0 \\ \text{即有 }E(XY)=E(X)E(Y) \\ \text{故X和Y是不相关的} \end{aligned}$

解析

步骤 1：计算边缘分布律
根据题目给出的联合概率分布，计算X和Y的边缘分布律。边缘分布律是通过将联合概率分布中另一变量的所有可能值的概率相加得到的。
步骤 2：计算期望值
根据边缘分布律，计算随机变量X和Y的期望值E(X)和E(Y)。
步骤 3：计算协方差
根据联合概率分布和边缘分布律，计算协方差Cov(X,Y)。如果Cov(X,Y) = 0，则X和Y不相关。
步骤 4：验证独立性
根据联合概率分布和边缘分布律，验证X和Y是否相互独立。如果对于所有x和y，P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，则X和Y相互独立。