28.（判断题，2.0分）设L为包围原点的任意光滑简单闭曲线，oint_(L)(xmathrm(d)y-ymathrm(d)x)/(x^2)+y^(2)=2pi.A 对B 错

考查要点：本题主要考查对格林公式的理解及其在存在奇点情况下的应用，以及环路积分的计算技巧。

解题核心思路：

1. 识别奇点：被积函数在原点处无定义，需绕过奇点构造辅助闭曲线。
2. 格林公式的修正应用：在包围原点的闭曲线外构造小圆，利用格林公式证明不同闭曲线上的积分相等。
3. 直接计算小圆积分：通过参数化小圆，直接计算积分值为$2\pi$，从而得出原命题正确。

破题关键点：

• 奇点处理：当积分路径包围奇点时，直接应用格林公式失效，需通过构造辅助闭曲线绕过奇点。
• 积分与路径无关性：在无奇点的区域内，闭曲线积分仅与是否包围奇点有关，与具体路径无关。

步骤1：分析奇点与格林公式适用性

被积函数$\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}$在原点$(0,0)$处无定义，因此当闭曲线$L$包围原点时，向量场在积分区域内存在奇点，直接应用格林公式不成立。

步骤2：构造辅助闭曲线$L_1$

取半径为$r$的小圆$L_1: x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$（$0 \leq \theta < 2\pi$），该曲线包围原点且与$L$构成无奇点的区域。

步骤3：计算小圆$L_1$上的积分

参数化$L_1$，计算得：
$\begin{aligned}x\,dy - y\,dx &= (r\cos\theta)(r\cos\theta\,d\theta) - (r\sin\theta)(-r\sin\theta\,d\theta) \\&= r^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta)\,d\theta = r^2\,d\theta, \\x^2 + y^2 &= r^2.\end{aligned}$
积分化简为：
$\oint_{L_1} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2} = \int_0^{2\pi} \frac{r^2\,d\theta}{r^2} = \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.$

步骤4：应用格林公式比较$L$与$L_1$的积分

在$L$与$L_1$围成的无奇点区域内，格林公式表明两闭曲线上的积分相等，即：
$\oint_{L} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2} = \oint_{L_1} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2} = 2\pi.$