28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ,{x)^2+(y)^2leqslant 1 0, .-|||-试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.

考查要点：本题主要考查二维随机变量的不相关性与独立性的判断方法。
解题思路：

1. 不相关性：通过计算协方差 $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$，若结果为0，则X和Y不相关。
2. 独立性：验证联合概率密度 $f(x,y)$ 是否等于边缘密度 $f_X(x)f_Y(y)$ 的乘积，若不相等，则X和Y不独立。
   关键点：

• 对称性简化期望计算；
• 边缘密度的求解与比较。

1. 计算期望 $E(X)$ 和 $E(Y)$

利用对称性：

• 积分区域 $x^2 + y^2 \leq 1$ 关于 $x$ 轴对称，被积函数 $x$ 是奇函数，故 $E(X) = 0$。
• 同理，积分区域关于 $y$ 轴对称，被积函数 $y$ 是奇函数，故 $E(Y) = 0$。

2. 计算 $E(XY)$

积分区域对称，被积函数 $xy$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的奇函数，积分结果为0，即 $E(XY) = 0$。
因此，$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$，说明X和Y不相关。

3. 求边缘密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$

• $f_X(x)$：对 $y$ 积分联合密度：
  $f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi} \, dy = \frac{2}{\pi} \sqrt{1-x^2}, \quad -1 < x < 1.$
• $f_Y(y)$：同理可得：
  $f_Y(y) = \frac{2}{\pi} \sqrt{1-y^2}, \quad -1 < y < 1.$

4. 验证独立性

若 $f_X(x)f_Y(y) = \frac{4}{\pi^2} \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$，而联合密度 $f(x,y) = \frac{1}{\pi}$。
显然，$f_X(x)f_Y(y) \neq f(x,y)$，故X和Y不独立。