简答题（共5题，60.0分）19. (10.0分) 求函数y=2x-3x^(2)/(3)的单调区间与极值.

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，涉及分式导数、导数不存在点的分析，以及极值的判定。

解题核心思路：

1. 求导：正确计算函数的导数，注意处理分数指数幂的导数。
2. 确定临界点：找到导数为零的点（驻点）和导数不存在的点。
3. 划分区间：根据临界点将定义域划分为若干区间，分析导数在各区间的符号。
4. 判断单调性与极值：根据导数的符号变化确定单调区间，并结合极值的定义判断极值点。

破题关键点：

• 导数的化简：将导数表达式通分，便于分析符号。
• 导数不存在点的处理：特别注意$x=0$处导数不存在，但可能为极值点。
• 符号分析：分区间讨论$x>0$和$x<0$时$x^{\frac{1}{3}}$的符号对导数的影响。

步骤1：求导数
函数为$y=2x-3x^{\frac{2}{3}}$，求导得：
$y' = 2 - 2x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2(x^{\frac{1}{3}} - 1)}{x^{\frac{1}{3}}}$

步骤2：确定临界点

• 导数为零的点：分子$2(x^{\frac{1}{3}} - 1)=0$，解得$x=1$。
• 导数不存在的点：分母$x^{\frac{1}{3}}=0$，解得$x=0$。

步骤3：划分区间并分析导数符号
将定义域分为$(-\infty, 0)$、$(0, 1)$、$(1, +\infty)$：

• 当$x < 0$时：$x^{\frac{1}{3}} < 0$，分子$x^{\frac{1}{3}} - 1 < 0$，分母$x^{\frac{1}{3}} < 0$，整体$y' > 0$，函数递增。
• 当$0 < x < 1$时：$x^{\frac{1}{3}} > 0$，分子$x^{\frac{1}{3}} - 1 < 0$，分母$x^{\frac{1}{3}} > 0$，整体$y' < 0$，函数递减。
• 当$x > 1$时：$x^{\frac{1}{3}} > 0$，分子$x^{\frac{1}{3}} - 1 > 0$，分母$x^{\frac{1}{3}} > 0$，整体$y' > 0$，函数递增。

步骤4：判断极值

• $x=0$处：导数不存在，左侧递增（$y' > 0$），右侧递减（$y' < 0$），故为极大值点，极大值$y(0)=0$。
• $x=1$处：导数由负变正，故为极小值点，极小值$y(1)=2(1)-3(1)^{\frac{2}{3}}=-1$。