题目

25.计算iintlimits_(D)(x^2+y^2)dsigma，其中D是由直线y=x，y=2x及x=1所围成的闭区域.

25.计算$\iint\limits_{D}(x^{2}+y^{2})d\sigma$，其中D是由直线y=x，y=2x及x=1所围成的闭区域.

题目解答

答案

为了计算二重积分$\iint\limits_{D}(x^{2}+y^{2})d\sigma$，其中$D$是由直线$y=x$，$y=2x$和$x=1$所围成的闭区域，我们将按照以下步骤进行： 1. **确定积分区域 $D$:** - 直线 $y = x$ 和 $y = 2x$ 在原点 $O(0,0)$ 相交。 - 直线 $y = x$ 和 $x = 1$ 在点 $A(1,1)$ 相交。 - 直线 $y = 2x$ 和 $x = 1$ 在点 $B(1,2)$ 相交。 - 因此，区域 $D$ 是一个三角形，顶点为 $O(0,0)$，$A(1,1)$，和 $B(1,2)$。 2. **设置二重积分:** - 我们将使用直角坐标系进行积分。由于区域 $D$ 在 $x$-方向上被直线 $y = x$ 和 $y = 2x$ 所限制，我们可以将 $y$ 表达为 $x$ 的函数。 - 积分的范围是 $x$ 从 0 到 1，对于每个 $x$，$y$ 从 $x$ 到 $2x$。 3. **写出二重积分:** \[ \iint\limits_{D}(x^{2}+y^{2})d\sigma = \int_{0}^{1} \int_{x}^{2x} (x^2 + y^2) \, dy \, dx \] 4. **关于 $y$ 进行内积分:** \[ \int_{x}^{2x} (x^2 + y^2) \, dy = \int_{x}^{2x} x^2 \, dy + \int_{x}^{2x} y^2 \, dy \] - 第一个积分是: \[ \int_{x}^{2x} x^2 \, dy = x^2 \left[ y \right]_{x}^{2x} = x^2 (2x - x) = x^3 \] - 第二个积分是: \[ \int_{x}^{2x} y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x}^{2x} = \frac{(2x)^3}{3} - \frac{x^3}{3} = \frac{8x^3}{3} - \frac{x^3}{3} = \frac{7x^3}{3} \] - 将这些结果相加，我们得到: \[ \int_{x}^{2x} (x^2 + y^2) \, dy = x^3 + \frac{7x^3}{3} = \frac{3x^3}{3} + \frac{7x^3}{3} = \frac{10x^3}{3} \] 5. **关于 $x$ 进行外积分:** \[ \int_{0}^{1} \frac{10x^3}{3} \, dx = \frac{10}{3} \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{10}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1^4}{4} - \frac{10}{3} \cdot \frac{0^4}{4} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \] 因此，二重积分的值是 $\boxed{\frac{5}{6}}$。

解析

本题考查二重积分的计算，解题思路是先确定积分区域，然后将二重积分化为累次积分进行计算。

  1. 确定积分区域 $D$：
    • 直线 $y = x$ 和 $y = 2x$ 在原点 $O(0,0)$ 相交，联立方程 $\begin{cases}y = x\\y = 2x\end{cases}$，将 $y = x$ 代入 $y = 2x$ 得 $x = 2x$，解得 $x = 0$，进而 $y = 0$。
    • 直线 $y = x$ 和 $x = 1$ 在点 $A(1,1)$ 相交，将 $x = 1$ 代入 $y = x$ 得 $y = 1$。
    • 直线 $y = 2x$ 和 $x = 1$ 在点 $B(1,2)$ 相交，将 $x = 1$ 代入 $y = 2x$ 得 $y = 2$。
    • 所以区域 $D$ 是一个三角形，顶点为 $O(0,0)$，$A(1,1)$，和 $B(1,2)$。
  2. 设置二重积分：
    • 采用直角坐标系，积分区域 $D$ 可表示为 $0\leqslant x\leqslant 1$，$x\leqslant y\leqslant 2x$。
    • 则二重积分 $\iint\limits_{D}(x^{2}+y^{2})d\sigma$ 可化为累次积分 $\int_{0}^{1} \int_{x}^{2x} (x^2 + y^2) \, dy \, dx$。
  3. 计算关于 $y$ 的内积分：
    • 根据积分的可加性 $\int_{x}^{2x} (x^2 + y^2) \, dy = \int_{x}^{2x} x^2 \, dy + \int_{x}^{2x} y^2 \, dy$。
    • 对于 $\int_{x}^{2x} x^2 \, dy$，因为 $x^2$ 与 $y$ 无关，所以 $\int_{x}^{2x} x^2 \, dy = x^2 \int_{x}^{2x} 1 \, dy = x^2 \left[ y \right]_{x}^{2x} = x^2 (2x - x) = x^3$。
    • 对于 $\int_{x}^{2x} y^2 \, dy$，根据积分公式 $\int y^n dy=\frac{y^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得 $\int_{x}^{2x} y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x}^{2x} = \frac{(2x)^3}{3} - \frac{x^3}{3} = \frac{8x^3}{3} - \frac{x^3}{3} = \frac{7x^3}{3}$。
    • 那么 $\int_{x}^{2x} (x^2 + y^2) \, dy = x^3 + \frac{7x^3}{3} = \frac{3x^3}{3} + \frac{7x^3}{3} = \frac{10x^3}{3}$。
  4. 计算关于 $x$ 的外积分：
    • $\int_{0}^{1} \frac{10x^3}{3} \, dx = \frac{10}{3} \int_{0}^{1} x^3 \, dx$。
    • 再根据积分公式 $\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得 $\frac{10}{3} \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{10}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1^4}{4} - \frac{10}{3} \cdot \frac{0^4}{4} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$。