题目

计算下列二重积分（每小题7分，共14分）1. iint_(D) xy^2 , dx , dy，其中 D 是由 y = x^2, y = x 所围成的区域.2. iint_(D) e^-x^2 - y^2 , dx , dy，其中 D 是以原点为圆心，1为半径的圆形区域.

计算下列二重积分（每小题7分，共14分） 1. $\iint_{D} xy^2 \, dx \, dy$，其中 $D$ 是由 $y = x^2$, $y = x$ 所围成的区域. 2. $\iint_{D} e^{-x^2 - y^2} \, dx \, dy$，其中 $D$ 是以原点为圆心，1为半径的圆形区域.

题目解答

答案

我们来逐题分析并计算这两个二重积分。 --- ### **第1题** 计算二重积分： $$ \iint_{D} xy^2 \, dx \, dy $$ 其中积分区域 $D$ 是由曲线 $y = x^2$ 和直线 $y = x$ 所围成的区域。 --- #### **步骤1：确定积分区域** 我们先画出区域 $D$ 的图形。 - $y = x^2$ 是一条开口向上的抛物线。 - $y = x$ 是一条斜率为1的直线。 求它们的交点： 令 $x^2 = x \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ 或 $x = 1$ 所以交点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。 在区间 $x \in [0, 1]$ 上，$y = x^2$ 在下，$y = x$ 在上。 因此，区域 $D$ 可以表示为： $$ D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le x\} $$ --- #### **步骤2：设置积分** 将积分写成累次积分： $$ \iint_{D} xy^2 \, dx \, dy = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^2}^{x} xy^2 \, dy \, dx $$ --- #### **步骤3：计算内层积分** 先对 $y$ 积分： $$ \int_{x^2}^{x} xy^2 \, dy = x \int_{x^2}^{x} y^2 \, dy = x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{x} = x \left( \frac{x^3}{3} - \frac{(x^2)^3}{3} \right) = x \left( \frac{x^3 - x^6}{3} \right) = \frac{x^4 - x^7}{3} $$ --- #### **步骤4：计算外层积分** $$ \int_{0}^{1} \frac{x^4 - x^7}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (x^4 - x^7) \, dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^8}{8} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{8 - 5}{40} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{40} = \frac{1}{40} $$ --- ### **第1题答案：** $$ \boxed{\frac{1}{40}} $$ --- ### **第2题** 计算二重积分： $$ \iint_{D} e^{-x^2 - y^2} \, dx \, dy $$ 其中积分区域 $D$ 是以原点为圆心，半径为1的圆。 --- #### **步骤1：使用极坐标变换** 由于积分区域是圆形，使用极坐标变换会更方便。 极坐标变换： - $x = r \cos \theta$ - $y = r \sin \theta$ - $x^2 + y^2 = r^2$ - 雅可比行列式：$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ 积分区域变为： - $0 \le r \le 1$ - $0 \le \theta \le 2\pi$ --- #### **步骤2：改写积分** $$ \iint_{D} e^{-x^2 - y^2} \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} e^{-r^2} \cdot r \, dr \, d\theta $$ --- #### **步骤3：计算内层积分** $$ \int_{0}^{1} e^{-r^2} \cdot r \, dr $$ 令 $u = r^2 \Rightarrow du = 2r \, dr \Rightarrow r \, dr = \frac{1}{2} du$ 当 $r = 0 \Rightarrow u = 0$，当 $r = 1 \Rightarrow u = 1$ 所以： $$ \int_{0}^{1} e^{-r^2} \cdot r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_0^1 = \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) $$ --- #### **步骤4：计算外层积分** $$ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \, d\theta = \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \cdot 2\pi = \pi (1 - e^{-1}) $$ --- ### **第2题答案：** $$ \boxed{\pi (1 - e^{-1})} $$ --- ### **最终答案：** 1. $\boxed{\frac{1}{40}}$ 2. $\boxed{\pi (1 - e^{-1})}$

解析

第1题：考查二重积分的计算，关键在于确定积分区域并选择适当的积分次序。通过联立方程找到交点，将区域表示为$x$的函数，再转化为累次积分。先对$y$积分，再对$x$积分更简便。

第2题：考查极坐标变换的应用。积分区域为圆形，使用极坐标系可简化计算。需注意雅可比行列式的引入，以及被积函数在极坐标下的形式。

第1题

确定积分区域

联立$y = x^2$和$y = x$，解得交点$(0,0)$和$(1,1)$。在$x \in [0,1]$时，$y$的范围为$x^2 \le y \le x$，即：
$D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le x\}$

计算内层积分

对$y$积分：
$\int_{x^2}^{x} xy^2 \, dy = x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{x} = \frac{x^4 - x^7}{3}$

计算外层积分

对$x$积分：
$\int_{0}^{1} \frac{x^4 - x^7}{3} \, dx = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) = \frac{1}{40}$

第2题

极坐标变换

区域$D$在极坐标下为$0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$，雅可比行列式为$r$，积分变为：
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} e^{-r^2} \cdot r \, dr \, d\theta$

计算内层积分

令$u = r^2$，则：
$\int_{0}^{1} e^{-r^2} \cdot r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-1} \right)$

计算外层积分

对$\theta$积分：
$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \, d\theta = \pi (1 - e^{-1})$