题目
级数sum_(n=1)^infty (x^n)/(n)的收敛域是（ ）。A. [-1,1]B. (-1,1)C. [-1,1]D. [-1,1)
级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$的收敛域是（ ）。 A. $[-1,1]$ B. $(-1,1)$ C. $[-1,1]$ D. $[-1,1)$
题目解答
答案
我们来分析这个级数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}
$$
这是一个**幂级数**，我们可以使用**比值判别法**（Ratio Test）来判断其收敛性。
---
### 第一步：使用比值判别法
我们考虑一般项：
$$
a_n = \frac{x^n}{n}
$$
比值判别法的公式是：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^{n+1}}{n+1}}{\frac{x^n}{n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| x \cdot \frac{n}{n+1} \right| = |x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = |x|
$$
所以，根据比值判别法：
- 当 $|x| < 1$ 时，级数**绝对收敛**；
- 当 $|x| > 1$ 时，级数**发散**；
- 当 $|x| = 1$ 时，需要**单独讨论**。
---
### 第二步：讨论边界点 $x = 1$ 和 $x = -1$
#### 情况1：$x = 1$
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
$$
这是**调和级数**，是**发散**的。
#### 情况2：$x = -1$
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
$$
这是**交错级数**，满足莱布尼茨判别法的条件（单调递减趋于0），所以该级数是**条件收敛**的。
---
### 第三步：确定收敛域
综上：
- 当 $|x| < 1$ 时，绝对收敛；
- 当 $x = 1$ 时，发散；
- 当 $x = -1$ 时，条件收敛。
所以，该级数的**收敛域**是：
$$
[-1, 1)
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{\text{D. } [-1,1)}
$$
解析
考查要点：本题主要考查幂级数的收敛域判断，涉及比值判别法和边界点的收敛性分析。
解题核心思路：
- 比值判别法确定收敛半径；
- 单独讨论边界点$x=1$和$x=-1$的收敛性；
- 结合绝对收敛与条件收敛的判定结果，最终确定收敛域。
破题关键点：
- 比值判别法得出收敛半径为$1$；
- $x=1$时级数退化为发散的调和级数；
- $x=-1$时级数为条件收敛的交错级数。
步骤1：应用比值判别法
考虑一般项$a_n = \frac{x^n}{n}$，计算极限：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| x \cdot \frac{n}{n+1} \right| = |x|$
- 当$|x| < 1$时，级数绝对收敛；
- 当$|x| > 1$时，级数发散；
- 当$|x| = 1$时，需单独讨论。
步骤2：分析边界点
当$x = 1$时
级数变为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，即调和级数，显然发散。
当$x = -1$时
级数变为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，满足莱布尼茨判别法条件：
- $\frac{1}{n}$单调递减且趋于$0$；
- 因此级数条件收敛。
步骤3：确定收敛域
- $|x| < 1$时绝对收敛；
- $x = -1$时条件收敛；
- $x = 1$时发散。
综上，收敛域为$[-1, 1)$。