题目
2.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:-|||-(4) sum _(n=1)^infty (n+2)(x)^n+3.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定级数的收敛半径和收敛域
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(n+2){x}^{n+3}$ 的收敛半径为1，收敛域为 (-1,1)。这是因为级数的通项 $(n+2)x^{n+3}$ 中的 $x^{n+3}$ 部分决定了收敛半径，而 $n+2$ 是一个多项式，不会影响收敛半径。
步骤 2：将级数写成逐项求导的形式
级数可以写成 $x^2 \sum _{n=1}^{\infty }(n+2)x^{n+1}$ 的形式。这是因为 $(n+2)x^{n+3} = (n+2)x^{n+1}x^2$，所以原级数可以写成 $x^2$ 乘以 $\sum _{n=1}^{\infty }(n+2)x^{n+1}$ 的形式。
步骤 3：求 $\sum _{n=1}^{\infty }(n+2)x^{n+1}$ 的和函数
首先，求 $\sum _{n=1}^{\infty }x^{n+2}$ 的和函数。由于 $\sum _{n=1}^{\infty }x^{n+2} = x^3 \sum _{n=0}^{\infty }x^n = \frac{x^3}{1-x}$，所以 $\sum _{n=1}^{\infty }x^{n+2}$ 的和函数为 $\frac{x^3}{1-x}$。然后，对 $\frac{x^3}{1-x}$ 求导，得到 $\sum _{n=1}^{\infty }(n+2)x^{n+1}$ 的和函数。求导后得到 $\frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2}$。
步骤 4：求原级数的和函数
将步骤 3 中得到的和函数乘以 $x^2$，得到原级数的和函数。即 $f(x) = x^2 \cdot \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^4 - 2x^5}{(1-x)^2}$。
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(n+2){x}^{n+3}$ 的收敛半径为1，收敛域为 (-1,1)。这是因为级数的通项 $(n+2)x^{n+3}$ 中的 $x^{n+3}$ 部分决定了收敛半径，而 $n+2$ 是一个多项式，不会影响收敛半径。
步骤 2：将级数写成逐项求导的形式
级数可以写成 $x^2 \sum _{n=1}^{\infty }(n+2)x^{n+1}$ 的形式。这是因为 $(n+2)x^{n+3} = (n+2)x^{n+1}x^2$，所以原级数可以写成 $x^2$ 乘以 $\sum _{n=1}^{\infty }(n+2)x^{n+1}$ 的形式。
步骤 3：求 $\sum _{n=1}^{\infty }(n+2)x^{n+1}$ 的和函数
首先，求 $\sum _{n=1}^{\infty }x^{n+2}$ 的和函数。由于 $\sum _{n=1}^{\infty }x^{n+2} = x^3 \sum _{n=0}^{\infty }x^n = \frac{x^3}{1-x}$，所以 $\sum _{n=1}^{\infty }x^{n+2}$ 的和函数为 $\frac{x^3}{1-x}$。然后，对 $\frac{x^3}{1-x}$ 求导，得到 $\sum _{n=1}^{\infty }(n+2)x^{n+1}$ 的和函数。求导后得到 $\frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2}$。
步骤 4：求原级数的和函数
将步骤 3 中得到的和函数乘以 $x^2$，得到原级数的和函数。即 $f(x) = x^2 \cdot \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^4 - 2x^5}{(1-x)^2}$。