21. int ((arcsin x))^2dx -

考查要点：本题主要考查分部积分法在处理反三角函数平方积分中的应用，以及多次分部积分时的变量选择策略。

解题核心思路：

1. 首次分部积分：将$(\arcsin x)^2$作为$u$，$dx$作为$dv$，简化积分形式。
2. 二次分部积分：对剩余积分再次分部，选择$\arcsin x$作为新的$u$，并合理选择$dv$，通过代换法求出$v$。
3. 代数整理：合并所有分部积分结果，得到最终表达式。

破题关键点：

• 变量选择：两次分部积分中，均优先选择反三角函数部分作为$u$，以降低积分复杂度。
• 代换技巧：在计算$v$时，通过变量代换简化积分过程。

第一次分部积分

设 $u = (\arcsin x)^2$，则 $du = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$；
设 $dv = dx$，则 $v = x$。
根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int (\arcsin x)^2 dx &= x(\arcsin x)^2 - \int x \cdot 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \\&= x(\arcsin x)^2 - 2 \int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx.\end{aligned}$

第二次分部积分

对剩余积分 $\int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx$，再次分部积分：
设 $u = \arcsin x$，则 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$；
设 $dv = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$，则需计算$v$：
令 $t = 1 - x^2$，则 $dt = -2x dx$，即 $x dx = -\frac{1}{2} dt$，
$v = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\int \frac{1}{2\sqrt{t}} dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2}.$
根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx &= -\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} - \int \left(-\sqrt{1-x^2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \\&= -\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} + \int 1 dx \\&= -\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} + x + C.\end{aligned}$

合并结果

将二次分部积分结果代入原式：
$\begin{aligned}\int (\arcsin x)^2 dx &= x(\arcsin x)^2 - 2 \left( -\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} + x \right) + C \\&= x(\arcsin x)^2 + 2\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} - 2x + C.\end{aligned}$