题目
已知微分方程的通解为 =(C)_(1)(e)^x+(C)_(2)x(e)^x 则满足-|||-初始条件 (0)=1,y'(0)=2 的特解为(): ()-|||-A =(e)^x-|||-B =x(e)^x-|||-C =(e)^x+x(e)^x-|||-D 以上结果都不正确
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导
对给定的通解 $y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}x{e}^{x}$ 求导，得到 $y'={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{x}+{C}_{2}x{e}^{x}$。
步骤 2：应用初始条件
将初始条件 $y(0)=1$ 和 $y'(0)=2$ 代入通解和其导数中，得到方程组：
$\left \{ \begin{matrix} {C}_{1}=1\\ {C}_{1}+{C}_{2}=2\end{matrix} \right.$
步骤 3：解方程组
解方程组 $\left \{ \begin{matrix} {C}_{1}=1\\ {C}_{1}+{C}_{2}=2\end{matrix} \right.$，得到 $\left \{ \begin{matrix} {C}_{1}=1\\ {C}_{2}=1\end{matrix} \right.$。
步骤 4：代入特解
将解得的 ${C}_{1}$ 和 ${C}_{2}$ 代入通解中，得到特解 $y={e}^{x}+x{e}^{x}$。
对给定的通解 $y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}x{e}^{x}$ 求导，得到 $y'={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{x}+{C}_{2}x{e}^{x}$。
步骤 2：应用初始条件
将初始条件 $y(0)=1$ 和 $y'(0)=2$ 代入通解和其导数中，得到方程组：
$\left \{ \begin{matrix} {C}_{1}=1\\ {C}_{1}+{C}_{2}=2\end{matrix} \right.$
步骤 3：解方程组
解方程组 $\left \{ \begin{matrix} {C}_{1}=1\\ {C}_{1}+{C}_{2}=2\end{matrix} \right.$，得到 $\left \{ \begin{matrix} {C}_{1}=1\\ {C}_{2}=1\end{matrix} \right.$。
步骤 4：代入特解
将解得的 ${C}_{1}$ 和 ${C}_{2}$ 代入通解中，得到特解 $y={e}^{x}+x{e}^{x}$。