题目
370 设离散型随机变量X服从分布律 X=k =dfrac (C)(k!)(e)^-2 ,k=0 ,1,2,···则常数C-|||-必为-|||-(A)1. (B)e. (C) ^-1 。 (D) ^-2 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解分布律的性质
分布律的性质之一是所有可能取值的概率之和等于1，即 $\sum _{k=0}^{\infty }P\{ X=k\} =1$ 。
步骤 2：应用分布律的性质
根据题目中给出的分布律 $P\{ X=k\} =\dfrac {C}{k!}{e}^{-2}$ ，我们有 $\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {C}{k!}{e}^{-2} = 1$ 。
步骤 3：求解常数C
将 $\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {C}{k!}{e}^{-2}$ 重写为 $C\cdot {e}^{-2}\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {1}{k!}$ ，并利用公式 ${e}^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {{x}^{k}}{k!}$ ，其中 $x=1$ ，得到 $\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {1}{k!} = e$ 。因此，$C\cdot {e}^{-2}\cdot e = 1$ ，从而 $C\cdot {e}^{-1} = 1$ ，解得 $C = e$ 。
分布律的性质之一是所有可能取值的概率之和等于1，即 $\sum _{k=0}^{\infty }P\{ X=k\} =1$ 。
步骤 2：应用分布律的性质
根据题目中给出的分布律 $P\{ X=k\} =\dfrac {C}{k!}{e}^{-2}$ ，我们有 $\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {C}{k!}{e}^{-2} = 1$ 。
步骤 3：求解常数C
将 $\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {C}{k!}{e}^{-2}$ 重写为 $C\cdot {e}^{-2}\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {1}{k!}$ ，并利用公式 ${e}^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {{x}^{k}}{k!}$ ，其中 $x=1$ ，得到 $\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {1}{k!} = e$ 。因此，$C\cdot {e}^{-2}\cdot e = 1$ ，从而 $C\cdot {e}^{-1} = 1$ ，解得 $C = e$ 。