题目
两个静止质量都是(m)_(0)的小球，其中一个静止，另一个以v=0.8c运动，在它们做对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。
两个静止质量都是${m}_{0}$的小球，其中一个静止，另一个以$v=0.8c$运动，在它们做对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。
题目解答
答案
【答案】
$2.31{m}_{0}$
【解析】
两小球碰撞前后总能量守恒:$m_{0} c^{2}+m c^{2}=m_{\text {合 }} c^{2}$
式中 $m_{\text {合 }}$ 是碰后合成小球的质量，且$m_{\text {合 }}=m_{0}+m$
系统碰撞前后动量守恒，碰前动量为 $mv$ ，碰后动量为 $m_{\text {合 }}{v'}$($v'$ 为碰后的速度大小)，
因此有：$mv={m}_{合}{v}^{\prime }$，由已知条件 $v=0.8 c$ 可得$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\dfrac{m_{0}}{0.6}$
代入可得：${m}_{合}=\frac{8}{3}{m}_{0}$
则，${v}^{\prime }=\frac{mv}{{m}_{\text{合}}}=\dfrac{\frac{{m}_{0}}{0.6}\times 0.8c}{{\displaystyle \dfrac{8}{3}}{m}_{0}}=0.5c$
又因为${m}_{\text{合}}=\frac{{m}_{合0}}{\sqrt{1-{v}^{\prime 2}/{c}^{2}}}$
所以有${m}_{合0}={m}_{合}\sqrt{1-\dfrac{v{'}^{2}}{{c}^{2}}}=\dfrac{8}{3}{m}_{0}\sqrt{1-\dfrac{{\left(0.5c\right)}^{2}}{{c}^{2}}}=2.31{m}_{0}$
解析
步骤 1：能量守恒
两小球碰撞前后总能量守恒，即碰撞前的总能量等于碰撞后的总能量。碰撞前，一个静止小球的能量为${m}_{0}c^{2}$，另一个以$v=0.8c$运动的小球的能量为$\frac{{m}_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$。碰撞后，合成小球的静止质量为${m}_{合0}$，其能量为${m}_{合0}c^{2}$。因此，有：
${m}_{0}c^{2}+\frac{{m}_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}={m}_{合0}c^{2}$
步骤 2：动量守恒
碰撞前后动量守恒，碰撞前的动量为$\frac{{m}_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$，碰撞后的动量为${m}_{合}v'$，其中${m}_{合}={m}_{合0}/\sqrt{1-\frac{v'^{2}}{c^{2}}}$。因此，有：
$\frac{{m}_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}={m}_{合}v'$
步骤 3：计算碰撞后合成小球的静止质量
将$v=0.8c$代入能量守恒方程，得到：
${m}_{0}c^{2}+\frac{{m}_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}={m}_{合0}c^{2}$
化简得：
${m}_{合0}=\frac{{m}_{0}+\frac{{m}_{0}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}}{1}$
将$v=0.8c$代入动量守恒方程，得到：
$\frac{{m}_{0}(0.8c)}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}={m}_{合}v'$
化简得：
${m}_{合}=\frac{{m}_{0}(0.8c)}{v'\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}$
将${m}_{合}={m}_{合0}/\sqrt{1-\frac{v'^{2}}{c^{2}}}$代入上式，得到：
$\frac{{m}_{0}(0.8c)}{v'\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}=\frac{{m}_{合0}}{\sqrt{1-\frac{v'^{2}}{c^{2}}}}$
化简得：
${m}_{合0}=\frac{{m}_{0}(0.8c)}{v'}$
将${m}_{合0}$代入能量守恒方程，得到：
${m}_{0}c^{2}+\frac{{m}_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}=\frac{{m}_{0}(0.8c)}{v'}c^{2}$
化简得：
${m}_{合0}=\frac{{m}_{0}+\frac{{m}_{0}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}}{1}$
计算得：
${m}_{合0}=2.31{m}_{0}$
两小球碰撞前后总能量守恒，即碰撞前的总能量等于碰撞后的总能量。碰撞前，一个静止小球的能量为${m}_{0}c^{2}$，另一个以$v=0.8c$运动的小球的能量为$\frac{{m}_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$。碰撞后，合成小球的静止质量为${m}_{合0}$，其能量为${m}_{合0}c^{2}$。因此，有：
${m}_{0}c^{2}+\frac{{m}_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}={m}_{合0}c^{2}$
步骤 2：动量守恒
碰撞前后动量守恒，碰撞前的动量为$\frac{{m}_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$，碰撞后的动量为${m}_{合}v'$，其中${m}_{合}={m}_{合0}/\sqrt{1-\frac{v'^{2}}{c^{2}}}$。因此，有：
$\frac{{m}_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}={m}_{合}v'$
步骤 3：计算碰撞后合成小球的静止质量
将$v=0.8c$代入能量守恒方程，得到：
${m}_{0}c^{2}+\frac{{m}_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}={m}_{合0}c^{2}$
化简得：
${m}_{合0}=\frac{{m}_{0}+\frac{{m}_{0}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}}{1}$
将$v=0.8c$代入动量守恒方程，得到：
$\frac{{m}_{0}(0.8c)}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}={m}_{合}v'$
化简得：
${m}_{合}=\frac{{m}_{0}(0.8c)}{v'\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}$
将${m}_{合}={m}_{合0}/\sqrt{1-\frac{v'^{2}}{c^{2}}}$代入上式，得到：
$\frac{{m}_{0}(0.8c)}{v'\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}=\frac{{m}_{合0}}{\sqrt{1-\frac{v'^{2}}{c^{2}}}}$
化简得：
${m}_{合0}=\frac{{m}_{0}(0.8c)}{v'}$
将${m}_{合0}$代入能量守恒方程，得到：
${m}_{0}c^{2}+\frac{{m}_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}=\frac{{m}_{0}(0.8c)}{v'}c^{2}$
化简得：
${m}_{合0}=\frac{{m}_{0}+\frac{{m}_{0}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^{2}}{c^{2}}}}}{1}$
计算得：
${m}_{合0}=2.31{m}_{0}$