例 6-15 在某一季节,一般人群中,疾病D1的发病率为2%,病人中40 %表现出症状S;疾病D2的-|||-发病率为5%,其中18%表现出症状S;疾病D3的发病率为0.5%,症状S在病人中占60%;没有疾病D4-|||-的概率为92.5%无症状S.问任意一位病人有症状S的概率有多大?病人有症状S时患疾病D1的概-|||-率有多大?

步骤 1：确定事件和概率
- 疾病D1的发病率 $P(D_1) = 0.02$，其中40%表现出症状S，即 $P(S|D_1) = 0.4$。
- 疾病D2的发病率 $P(D_2) = 0.05$，其中18%表现出症状S，即 $P(S|D_2) = 0.18$。
- 疾病D3的发病率 $P(D_3) = 0.005$，其中60%表现出症状S，即 $P(S|D_3) = 0.6$。
- 疾病D4的发病率 $P(D_4) = 0.925$，其中无症状S，即 $P(S|D_4) = 0$。

步骤 2：计算任意一位病人有症状S的概率
- 使用全概率公式计算 $P(S)$，即 $P(S) = \sum_{i=1}^{4} P(D_i)P(S|D_i)$。
- 代入已知数据：$P(S) = 0.02 \times 0.4 + 0.05 \times 0.18 + 0.005 \times 0.6 + 0.925 \times 0$。
- 计算结果：$P(S) = 0.008 + 0.009 + 0.003 + 0 = 0.02$。

步骤 3：计算病人有症状S时患疾病D1的概率
- 使用贝叶斯公式计算 $P(D_1|S)$，即 $P(D_1|S) = \frac{P(D_1)P(S|D_1)}{P(S)}$。
- 代入已知数据：$P(D_1|S) = \frac{0.02 \times 0.4}{0.02}$。
- 计算结果：$P(D_1|S) = \frac{0.008}{0.02} = 0.4$。