题目
5、yoz面上的曲线z=2y^2绕z轴旋转一周形成的图形方程为z=2x^2+2y^2（）。√ 对× 错
5、$yoz$面上的曲线$z=2y^{2}$绕z轴旋转一周形成的图形方程为$z=2x^{2}+2y^{2}$（）。
√ 对
× 错
题目解答
答案
在 $yoz$ 面上，曲线 $z = 2y^2$ 绕 $z$ 轴旋转时，曲面上任意点到 $z$ 轴的距离为 $\sqrt{x^2 + y^2}$。
原曲线中，对于给定的 $z$，有 $y^2 = \frac{z}{2}$，即 $|y| = \sqrt{\frac{z}{2}}$。
旋转后，该距离等于原曲线的 $|y|$，故 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\frac{z}{2}}$。
平方后得 $x^2 + y^2 = \frac{z}{2}$，整理得 $z = 2x^2 + 2y^2$。
因此，答案为 $\boxed{\text{对}}$。
解析
步骤 1：确定旋转前的曲线方程
曲线 $z = 2y^2$ 在 $yoz$ 平面上，表示 $z$ 轴方向上的抛物线。
步骤 2：分析旋转后的图形
当曲线绕 $z$ 轴旋转一周时，每个点 $(0, y, z)$ 会形成一个圆，圆心在 $z$ 轴上，半径为 $|y|$。旋转后，每个点 $(x, y, z)$ 到 $z$ 轴的距离为 $\sqrt{x^2 + y^2}$。
步骤 3：建立旋转后的方程
原曲线中，对于给定的 $z$，有 $y^2 = \frac{z}{2}$，即 $|y| = \sqrt{\frac{z}{2}}$。旋转后，该距离等于原曲线的 $|y|$，故 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\frac{z}{2}}$。平方后得 $x^2 + y^2 = \frac{z}{2}$，整理得 $z = 2x^2 + 2y^2$。
曲线 $z = 2y^2$ 在 $yoz$ 平面上，表示 $z$ 轴方向上的抛物线。
步骤 2：分析旋转后的图形
当曲线绕 $z$ 轴旋转一周时，每个点 $(0, y, z)$ 会形成一个圆，圆心在 $z$ 轴上，半径为 $|y|$。旋转后，每个点 $(x, y, z)$ 到 $z$ 轴的距离为 $\sqrt{x^2 + y^2}$。
步骤 3：建立旋转后的方程
原曲线中，对于给定的 $z$，有 $y^2 = \frac{z}{2}$，即 $|y| = \sqrt{\frac{z}{2}}$。旋转后，该距离等于原曲线的 $|y|$，故 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\frac{z}{2}}$。平方后得 $x^2 + y^2 = \frac{z}{2}$，整理得 $z = 2x^2 + 2y^2$。