17.(计算题，10分) 判断向量β能否由向量组α_(1),α_(2),α_(3)线性表示，若能，写出它的一种表示式. β=(2,-30,13,-26),α_(1)=(3,-5,2,-4),α_(2)=(-1,7,-3,6),α_(3)=(3,11,-5,10)
题目解答
答案
将向量 $\beta$ 与向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 构成增广矩阵，进行行初等变换化为行最简形： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 秩为2，方程组有解。设 $x_3 = k$，解得： $\begin{cases} x_1 = -1 - 2k \\ x_2 = -5 - 3k \end{cases}$ 取 $k = 0$，得 $\beta = -\alpha_1 - 5\alpha_2$；取 $k = -1$，得 $\beta = \alpha_1 - 2\alpha_2 - \alpha_3$。 答案： $\boxed{\beta = -\alpha_1 - 5\alpha_2 \text{ 或 } \beta = \alpha_1 - 2\alpha_2 - \alpha_3}$
解析
本题考察向量能否由向量组线性表示的问题，核心思路是通过构造增广矩阵并进行行初等变换，判断方程组是否有解，进而求出线性表示式。
步骤1：构造增广矩阵
向量$\beta$能否由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示，等价于非齐次线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=\beta$是否有解。构造增广矩阵$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|\beta)$：
$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|\beta)=\begin{pmatrix}3 & -1 & 3 & 2 \\-5 & 7 & 11 & -30 \\2 & -3 & -5 & 13 \\-4 & 6 & 10 & -26\end{pmatrix}$
步骤2：行初等变换化行最简形
对增广矩阵进行行初等变换（具体过程略），最终化为行最简形：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & -1 \\0 & 1 & 3 & -5 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
此时系数矩阵的秩$r(A)=2$，增广矩阵的秩$r(\overline{A})=2$，故方程组有无穷多解。
步骤3：求解方程组
行最简形对应的方程组为：
$\begin{cases}x_1 + 2x_3 = -1 \\x_2 + 3x_3 = -5\end{cases}$
取自由变量$x_3=k$（$k\in\mathbb{R}$），则：
$x_1=-1-2k,\quad x_2=-5-3k$
步骤4：写出线性表示式
代入$k=0$，得$\beta=-\alpha_1-5\alpha_2$；代入$k=-1$，得$\beta=\alpha_1-2\alpha_2-\alpha_3$（答案不唯一）。