题目

12 设矩阵A=(}1&-1&32&-1&4-1&2&-4.

12 设矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&-1&3\\2&-1&4\\-1&2&-4\end{matrix}\right)$，求$A^{-1}$.

题目解答

答案

为了求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & -4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵 $A^{-1}$，我们需要按照以下步骤进行：

  1. 计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$。
  2. 求矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\text{adj}(A)$。
  3. 使用公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ 求逆矩阵。

步骤1：计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$

矩阵 $A$ 的行列式计算如下：
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$
$= 1((-1)(-4) - (4)(2)) + 1((2)(-4) - (4)(-1)) + 3((2)(2) - (-1)(-1))$
$= 1(4 - 8) + 1(-8 + 4) + 3(4 - 1)$
$= 1(-4) + 1(-4) + 3(3)$
$= -4 - 4 + 9$
$= 1$

步骤2：求矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\text{adj}(A)$

伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 是矩阵 $A$ 的余子式矩阵的转置。首先，我们求矩阵 $A$ 的余子式矩阵。

余子式 $C_{11}$ 为：
$C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = (-1)(-4) - (4)(2) = 4 - 8 = -4$

余子式 $C_{12}$ 为：
$C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = -((2)(-4) - (4)(-1)) = -(-8 + 4) = 4$

余子式 $C_{13}$ 为：
$C_{13} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$

余子式 $C_{21}$ 为：
$C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = -((-1)(-4) - (3)(2)) = -(4 - 6) = 2$

余子式 $C_{22}$ 为：
$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = (1)(-4) - (3)(-1) = -4 + 3 = -1$

余子式 $C_{23}$ 为：
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -((1)(2) - (-1)(-1)) = -(2 - 1) = -1$

余子式 $C_{31}$ 为：
$C_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (3)(-1) = -4 + 3 = -1$

余子式 $C_{32}$ 为：
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -((1)(4) - (3)(2)) = -(4 - 6) = 2$

余子式 $C_{33}$ 为：
$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (-1)(2) = -1 + 2 = 1$

余子式矩阵为：
$\begin{pmatrix} -4 & 4 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 是余子式矩阵的转置：
$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

步骤3：使用公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ 求逆矩阵

由于 $\det(A) = 1$，我们有：
$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -4 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

因此，矩阵 $A$ 的逆矩阵为：
$\boxed{\begin{pmatrix} -4 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$

解析

本题考查矩阵求逆的知识，解题思路是先计算矩阵的行列式，判断矩阵是否可逆，若可逆，再求出矩阵的伴随矩阵，最后根据逆矩阵公式$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$求出逆矩阵。

  1. 计算矩阵$A$的行列式$\det(A)$
    根据三阶行列式的计算公式$\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$（其中$a_{ij}$是矩阵$A$的元素，$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，$M_{ij}$是$a_{ij}$的余子式），对于矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&-1&4\\-1&2&-4\end{pmatrix}$，有：
    $\det(A)=1\times\begin{vmatrix}-1&4\\2&-4\end{vmatrix}-(-1)\times\begin{vmatrix}2&4\\-1&-4\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}$
    分别计算二阶行列式：
    $\begin{vmatrix}-1&4\\2&-4\end{vmatrix}=(-1)\times(-4)-4\times2 = 4 - 8 = -4$
    $\begin{vmatrix}2&4\\-1&-4\end{vmatrix}=2\times(-4)-4\times(-1)= -8 + 4 = -4$
    $\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=2\times2-(-1)\times(-1)= 4 - 1 = 3$
    将上述结果代入$\det(A)$的表达式：
    $\det(A)=1\times(-4)+1\times(-4)+3\times3=-4 - 4 + 9 = 1$
    因为$\det(A)=1\neq0$，所以矩阵$A$可逆。
  2. 求矩阵$A$的伴随矩阵$\text{adj}(A)$
    伴随矩阵$\text{adj}(A)$是矩阵$A$的余子式矩阵的转置。
    • 计算余子式：
      $C_{11}=\begin{vmatrix}-1&4\\2&-4\end{vmatrix}=(-1)\times(-4)-4\times2 = 4 - 8 = -4$
      $C_{12}=-\begin{vmatrix}2&4\\-1&-4\end{vmatrix}=- (2\times(-4)-4\times(-1))=-(-8 + 4) = 4$
      $C_{13}=\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=2\times2-(-1)\times(-1)= 4 - 1 = 3$
      $C_{21}=-\begin{vmatrix}-1&3\\2&-4\end{vmatrix}=- ((-1)\times(-4)-3\times2)=-(4 - 6) = 2$
      $C_{22}=\begin{vmatrix}1&3\\-1&-4\end{vmatrix}=1\times(-4)-3\times(-1)= -4 + 3 = -1$
      $C_{23}=-\begin{vmatrix}1&-1\\-1&2\end{vmatrix}=- (1\times2-(-1)\times(-1))=-(2 - 1) = -1$
      $C_{31}=\begin{vmatrix}-1&3\\-1&4\end{vmatrix}=(-1)\times4-3\times(-1)= -4 + 3 = -1$
      $C_{32}=-\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}=- (1\times4-3\times2)=-(4 - 6) = 2$
      $C_{33}=\begin{vmatrix}1&-1\\2&-1\end{vmatrix}=1\times(-1)-(-1)\times2= -1 + 2 = 1$
    • 得到余子式矩阵$\begin{pmatrix}-4&4&3\\2&-1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}$。
    • 对余子式矩阵取转置得到伴随矩阵$\text{adj}(A)=\begin{pmatrix}-4&2&-1\\4&-1&2\\3&-1&1\end{pmatrix}$。
  3. 使用公式$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$求逆矩阵
    将$\det(A)=1$和$\text{adj}(A)=\begin{pmatrix}-4&2&-1\\4&-1&2\\3&-1&1\end{pmatrix}$代入公式：
    $A^{-1}=\frac{1}{1}\times\begin{pmatrix}-4&2&-1\\4&-1&2\\3&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&2&-1\\4&-1&2\\3&-1&1\end{pmatrix}$