题目
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a=-(1)/(4)时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（1）当$a=-\frac{1}{4}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（1）当$a=-\frac{1}{4}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
题目解答
答案
解：（1）当$a=-\frac{1}{4}$时，$f（x）=-\frac{1}{4}{x^2}+ln（x+1）（x＞-1）$，
∴$f'（x）=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{{x+1}}=-\frac{{（x+2）（x-1）}}{{x+1}}$，
f'（x）＞0可得-1＜x＜1；f'（x）＜0可得x＞1．
∴f（x）的单调递增区间是（-1，1），单调递减区间是（1，+∞）．
（2）因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，
∴$f'（x）=2ax+\frac{1}{{x+1}}≤0$对∀x∈[1，+∞）恒成立，
即$a≤-\frac{1}{{2x（x+1）}}$，对∀x∈[1，+∞）恒成立，
即∀x∈[1，+∞）时，a小于等于新函数g（x）=-$\frac{1}{2x（x+1）}$的最小值，
当x=1时，g（1）min=-$\frac{1}{4}$，
∴$a≤-\frac{1}{4}$．
∴$f'（x）=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{{x+1}}=-\frac{{（x+2）（x-1）}}{{x+1}}$，
f'（x）＞0可得-1＜x＜1；f'（x）＜0可得x＞1．
∴f（x）的单调递增区间是（-1，1），单调递减区间是（1，+∞）．
（2）因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，
∴$f'（x）=2ax+\frac{1}{{x+1}}≤0$对∀x∈[1，+∞）恒成立，
即$a≤-\frac{1}{{2x（x+1）}}$，对∀x∈[1，+∞）恒成立，
即∀x∈[1，+∞）时，a小于等于新函数g（x）=-$\frac{1}{2x（x+1）}$的最小值，
当x=1时，g（1）min=-$\frac{1}{4}$，
∴$a≤-\frac{1}{4}$．
解析
步骤 1：求导数
当$a=-\frac{1}{4}$时，$f（x）=-\frac{1}{4}{x^2}+ln（x+1）（x＞-1）$，求导得$f'（x）=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{{x+1}}=-\frac{{（x+2）（x-1）}}{{x+1}}$。
步骤 2：确定单调区间
令$f'（x）＞0$，解得-1＜x＜1；令$f'（x）＜0$，解得x＞1。因此，f（x）的单调递增区间是（-1，1），单调递减区间是（1，+∞）。
步骤 3：求a的取值范围
因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，所以$f'（x）=2ax+\frac{1}{{x+1}}≤0$对∀x∈[1，+∞）恒成立，即$a≤-\frac{1}{{2x（x+1）}}$，对∀x∈[1，+∞）恒成立。当x=1时，$g（x）=-\frac{1}{2x（x+1）}$取得最小值$g（1）_{min}=-\frac{1}{4}$，所以$a≤-\frac{1}{4}$。
当$a=-\frac{1}{4}$时，$f（x）=-\frac{1}{4}{x^2}+ln（x+1）（x＞-1）$，求导得$f'（x）=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{{x+1}}=-\frac{{（x+2）（x-1）}}{{x+1}}$。
步骤 2：确定单调区间
令$f'（x）＞0$，解得-1＜x＜1；令$f'（x）＜0$，解得x＞1。因此，f（x）的单调递增区间是（-1，1），单调递减区间是（1，+∞）。
步骤 3：求a的取值范围
因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，所以$f'（x）=2ax+\frac{1}{{x+1}}≤0$对∀x∈[1，+∞）恒成立，即$a≤-\frac{1}{{2x（x+1）}}$，对∀x∈[1，+∞）恒成立。当x=1时，$g（x）=-\frac{1}{2x（x+1）}$取得最小值$g（1）_{min}=-\frac{1}{4}$，所以$a≤-\frac{1}{4}$。