题目
2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；（2）火星的质量M；（3）火星表面的重力加速度的大小g。
2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
（2）火星的质量M；
（3）火星表面的重力加速度的大小g。
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
（2）火星的质量M；
（3）火星表面的重力加速度的大小g。
题目解答
答案
解：（1）由线速度定义可得$v=\frac{{2πr}}{T}$
（2）设“天问一号”的质量为m，万有引力提供向心力有$G\frac{{mM}}{{{r^2}}}=m（\frac{{2π}}{T}{）^2}r$
解得$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
（3）忽略火星自转，火星表面质量为m'的物体，其所受万有引力等于重力$m'g=\frac{{Gm'M}}{{{R^2}}}$
代入M可解得$g=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{{T^2}{R^2}}}$
答：（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小为$\frac{2πr}{T}$；
（2）火星的质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）火星表面的重力加速度的大小为$\frac{4{{π}^{2}r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$。
（2）设“天问一号”的质量为m，万有引力提供向心力有$G\frac{{mM}}{{{r^2}}}=m（\frac{{2π}}{T}{）^2}r$
解得$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
（3）忽略火星自转，火星表面质量为m'的物体，其所受万有引力等于重力$m'g=\frac{{Gm'M}}{{{R^2}}}$
代入M可解得$g=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{{T^2}{R^2}}}$
答：（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小为$\frac{2πr}{T}$；
（2）火星的质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）火星表面的重力加速度的大小为$\frac{4{{π}^{2}r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$。
解析
考查要点：本题主要考查天体运动中的匀速圆周运动规律、万有引力定律的应用，以及重力加速度的计算。
解题思路：
- 第（1）题：直接利用匀速圆周运动的线速度公式即可求解。
- 第（2）题：根据万有引力提供向心力的关系建立方程，结合周期与角速度的关系，推导火星质量。
- 第（3）题：将火星表面的重力加速度与万有引力公式关联，代入第（2）题结果即可求解。
破题关键：
- 公式选择：明确不同情境下适用的物理公式（如线速度、万有引力定律、向心力表达式）。
- 变量消去：通过方程变形消去未知量（如探测器质量$m$）。
第（1）题
线速度公式
匀速圆周运动的线速度公式为：
$v = \frac{\text{轨道周长}}{\text{周期}} = \frac{2\pi r}{T}$
第（2）题
万有引力提供向心力
探测器绕火星运动时，万有引力提供向心力：
$G\frac{mM}{r^2} = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$
消去探测器质量$m$
两边约去$m$，整理得：
$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$
第（3）题
火星表面重力加速度
忽略自转时，物体的重力等于万有引力：
$m'g = G\frac{m'M}{R^2}$
代入火星质量$M$
将第（2）题结果代入，消去$m'$得：
$g = \frac{G M}{R^2} = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2 R^2}$