2. 设A为n阶矩阵，且A^2=E，则 (A)A. 的行列式为1B. A的特征值都是1C. A的秩为nD. A一定是对称矩阵

考查要点：本题主要考查矩阵的性质，涉及行列式、特征值、秩以及对称矩阵的判断。
解题核心思路：利用已知条件$A^2 = E$，结合矩阵运算性质，逐一分析各选项的正确性。
破题关键点：

1. 行列式性质：$|A^2| = |A|^2 = |E| = 1$，推导$|A|$的可能值。
2. 特征值关系：若$\lambda$是$A$的特征值，则$\lambda^2 = 1$，分析特征值的可能取值。
3. 可逆性与秩：由$A^2 = E$可知$A$可逆，进而确定秩为$n$。
4. 对称性反例：构造非对称矩阵满足$A^2 = E$，说明选项D不成立。

选项分析

选项A

由行列式性质：
$|A^2| = |E| = 1 \implies |A|^2 = 1 \implies |A| = \pm 1.$
因此，$|A|$不一定是1，选项A错误。

选项B

设$\lambda$为$A$的特征值，则：
$A^2 \mathbf{x} = E \mathbf{x} \implies \lambda^2 \mathbf{x} = \mathbf{x} \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1.$
特征值可能为1或-1，选项B错误。

选项C

由$A^2 = E$可知$A$可逆（$A^{-1} = A$），可逆矩阵的秩为$n$，选项C正确。

选项D

构造非对称矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E.$
该矩阵非对称，但满足$A^2 = E$，选项D错误。