题目
下列命题错误的有（）个。（1）若A2=0，则A=0；（2）若A2=A，则A=0或A=E；（3）若AX=AY，且A≠0，则X=Y。A. 0B. 1C. 2D. 3
下列命题错误的有（）个。（1）若A2=0，则A=0；（2）若A2=A，则A=0或A=E；（3）若AX=AY，且A≠0，则X=Y。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
题目解答
答案
D. 3
解析
步骤 1：分析命题（1）
命题（1）说，如果矩阵A的平方等于零矩阵，那么矩阵A本身也必须是零矩阵。然而，这并不总是正确的。存在非零矩阵A，其平方为零矩阵。例如，考虑矩阵A = [[0, 1], [0, 0]]，其平方A^2 = [[0, 0], [0, 0]]，即零矩阵。因此，命题（1）是错误的。
步骤 2：分析命题（2）
命题（2）说，如果矩阵A的平方等于A本身，那么A必须是零矩阵或单位矩阵。然而，这也不总是正确的。存在非零且非单位矩阵A，其平方等于A本身。例如，考虑矩阵A = [[1, 0], [0, 0]]，其平方A^2 = [[1, 0], [0, 0]]，即A本身。因此，命题（2）是错误的。
步骤 3：分析命题（3）
命题（3）说，如果矩阵A乘以向量X等于矩阵A乘以向量Y，且A不等于零矩阵，那么X必须等于Y。然而，这也不总是正确的。如果A是奇异矩阵（即非满秩），那么存在非零向量X和Y，使得AX = AY，但X不等于Y。因此，命题（3）是错误的。
命题（1）说，如果矩阵A的平方等于零矩阵，那么矩阵A本身也必须是零矩阵。然而，这并不总是正确的。存在非零矩阵A，其平方为零矩阵。例如，考虑矩阵A = [[0, 1], [0, 0]]，其平方A^2 = [[0, 0], [0, 0]]，即零矩阵。因此，命题（1）是错误的。
步骤 2：分析命题（2）
命题（2）说，如果矩阵A的平方等于A本身，那么A必须是零矩阵或单位矩阵。然而，这也不总是正确的。存在非零且非单位矩阵A，其平方等于A本身。例如，考虑矩阵A = [[1, 0], [0, 0]]，其平方A^2 = [[1, 0], [0, 0]]，即A本身。因此，命题（2）是错误的。
步骤 3：分析命题（3）
命题（3）说，如果矩阵A乘以向量X等于矩阵A乘以向量Y，且A不等于零矩阵，那么X必须等于Y。然而，这也不总是正确的。如果A是奇异矩阵（即非满秩），那么存在非零向量X和Y，使得AX = AY，但X不等于Y。因此，命题（3）是错误的。