题目
下列选项中曲面dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(1)+dfrac ({z)^2}(9)=3上点dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(1)+dfrac ({z)^2}(9)=3处的切平面和法线方程正确的是（）dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(1)+dfrac ({z)^2}(9)=3
下列选项中曲面
上点
处的切平面和法线方程正确的是（）
题目解答
答案
令
∴
∴切平面的法向量和法线的方向向量为
，
∴切平面方程为
化简得
法线方程为
化简得：
综上所述，答案选择A、C。
解析
步骤 1：定义函数
令$F(x,y,z)=\dfrac {{x}^{2}}{4}+\dfrac {{y}^{2}}{1}+\dfrac {{z}^{2}}{9}-3$，则曲面$\dfrac {{x}^{2}}{4}+\dfrac {{y}^{2}}{1}+\dfrac {{z}^{2}}{9}=3$可以表示为$F(x,y,z)=0$。
步骤 2：计算偏导数
计算$F(x,y,z)$在点$(2,-1,3)$处的偏导数：
${F}_{x}'(x,y,z)=\dfrac {x}{2}$，${F}_{y}'(x,y,z)=2y$，${F}_{z}'(x,y,z)=\dfrac {2z}{9}$。
将点$(2,-1,3)$代入偏导数中，得到：
${F}_{x}'(2,-1,3)=\dfrac {2}{2}=1$，
${F}_{y}'(2,-1,3)=2(-1)=-2$，
${F}_{z}'(2,-1,3)=\dfrac {2(3)}{9}=\dfrac {2}{3}$。
步骤 3：确定切平面和法线方程
切平面的法向量为$\overrightarrow {n}=(1,-2,\dfrac {2}{3})$，因此切平面方程为：
$1(x-2)+(-2)[ y-(-1)] +\dfrac {2}{3}(z-3)=0$，
化简得$x-2y+\dfrac {2}{3}z-6=0$。
法线方程为$\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y-(-1)}{-2}=\dfrac {z-3}{2/3}$，化简得$\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y+1}{-2}=\dfrac {z-3}{2/3}$。
令$F(x,y,z)=\dfrac {{x}^{2}}{4}+\dfrac {{y}^{2}}{1}+\dfrac {{z}^{2}}{9}-3$，则曲面$\dfrac {{x}^{2}}{4}+\dfrac {{y}^{2}}{1}+\dfrac {{z}^{2}}{9}=3$可以表示为$F(x,y,z)=0$。
步骤 2：计算偏导数
计算$F(x,y,z)$在点$(2,-1,3)$处的偏导数：
${F}_{x}'(x,y,z)=\dfrac {x}{2}$，${F}_{y}'(x,y,z)=2y$，${F}_{z}'(x,y,z)=\dfrac {2z}{9}$。
将点$(2,-1,3)$代入偏导数中，得到：
${F}_{x}'(2,-1,3)=\dfrac {2}{2}=1$，
${F}_{y}'(2,-1,3)=2(-1)=-2$，
${F}_{z}'(2,-1,3)=\dfrac {2(3)}{9}=\dfrac {2}{3}$。
步骤 3：确定切平面和法线方程
切平面的法向量为$\overrightarrow {n}=(1,-2,\dfrac {2}{3})$，因此切平面方程为：
$1(x-2)+(-2)[ y-(-1)] +\dfrac {2}{3}(z-3)=0$，
化简得$x-2y+\dfrac {2}{3}z-6=0$。
法线方程为$\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y-(-1)}{-2}=\dfrac {z-3}{2/3}$，化简得$\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y+1}{-2}=\dfrac {z-3}{2/3}$。