2.设 ln sqrt ({x)^2+(y)^2}=arctan dfrac (y)(x), 求 dfrac (dy)(dx).

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，涉及对数函数、反正切函数的导数，以及链式法则和商的导数的计算。

解题核心思路：

1. 方程两边同时对$x$求导，利用隐函数求导法则处理含有$y$的项。
2. 化简导数表达式，将含有$\dfrac{dy}{dx}$的项集中到等式一侧，解出$\dfrac{dy}{dx}$。

破题关键点：

• 左边处理：$\ln \sqrt{x^2 + y^2}$可化简为$\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)$，求导时注意链式法则。
• 右边处理：$\arctan \dfrac{y}{x}$的导数需应用商的导数公式，并结合链式法则。
• 方程整理：通过移项和因式分解，将$\dfrac{dy}{dx}$单独分离出来。

步骤1：对等式两边同时求导
原方程：
$\ln \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan \dfrac{y}{x}$
左边化简为$\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)$，求导得：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2y \cdot \dfrac{dy}{dx}}{x^2 + y^2} = \frac{x + y \cdot \dfrac{dy}{dx}}{x^2 + y^2}$

右边求导，应用链式法则和商的导数公式：
$\frac{1}{1 + \left(\dfrac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{x \cdot \dfrac{dy}{dx} - y}{x^2} = \frac{x \cdot \dfrac{dy}{dx} - y}{x^2 + y^2}$

步骤2：建立导数等式并化简
等式两边相等：
$\frac{x + y \cdot \dfrac{dy}{dx}}{x^2 + y^2} = \frac{x \cdot \dfrac{dy}{dx} - y}{x^2 + y^2}$
消去分母$x^2 + y^2$，整理得：
$x + y \cdot \dfrac{dy}{dx} = x \cdot \dfrac{dy}{dx} - y$

步骤3：解关于$\dfrac{dy}{dx}$的方程
移项集中$\dfrac{dy}{dx}$项：
$y \cdot \dfrac{dy}{dx} - x \cdot \dfrac{dy}{dx} = -x - y$
提取公因子$\dfrac{dy}{dx}$：
$\dfrac{dy}{dx} (y - x) = -(x + y)$
解得：
$\dfrac{dy}{dx} = \frac{-(x + y)}{y - x} = \frac{x + y}{x - y}$