3.给出以下4个命题①若lim_(xto+infty)f(x)=a，则lim_(ntoinfty)f(n)=a.②若lim_(ntoinfty)f(n)=a，则lim_(xto+infty)f(x)=a.③若lim_(xtox_{0)}f(x)=a，且lim_(ntoinfty)x_(n)=x_(0)，则lim_(ntoinfty)f(x_(n))=a.④若lim_(ntoinfty)x_(n)=x_(0)，且lim_(ntoinfty)f(x_(n))=a，则lim_(xto x_{0)}f(x)=a.其中真命题个数为（ ）A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.

考查要点：本题主要考查函数极限与数列极限的关系，涉及子序列性质、函数极限的定义以及数列极限的局部有界性等核心概念。

解题思路：

1. 命题①：函数在无穷远处的极限存在时，其在自然数子序列上的极限必然存在且相等。
2. 命题②：仅数列极限存在无法保证函数极限存在，需构造反例（如周期函数）。
3. 命题③：函数在某点极限存在时，任意收敛到该点的数列函数值极限必为函数极限。
4. 命题④：单个数列的函数值极限无法推出函数在该点的极限存在，需构造反例（如分段函数）。

破题关键：

• ①与③正确：基于函数极限的定义，函数极限的存在性蕴含所有趋近路径的极限一致性。
• ②与④错误：需通过反例说明单个数列的极限无法反推函数极限。

命题①分析

若 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$，则 $\lim_{n \to \infty} f(n) = a$。

• 正确性：根据函数极限的定义，当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) \to a$。自然数列 $\{n\}$ 是 $x \to +\infty$ 的子序列，因此 $\lim_{n \to \infty} f(n) = a$ 必然成立。

命题②分析

若 $\lim_{n \to \infty} f(n) = a$，则 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$。

• 错误性：仅整数点的极限为 $a$，无法保证连续变量 $x \to +\infty$ 时函数极限存在。例如，$f(x) = \sin(\pi x)$ 在整数点处值为 $0$，但整体极限不存在。

命题③分析

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$，则 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = a$。

• 正确性：函数在 $x_0$ 处的极限存在，任意收敛到 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$（满足 $x_n \neq x_0$ 时充分接近）均满足 $f(x_n) \to a$。即使 $\{x_n\}$ 有限次取 $x_0$，不影响极限。

命题④分析

若 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$，且 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = a$，则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$。

• 错误性：仅单个数列 $\{x_n\}$ 的函数值极限为 $a$，无法保证所有趋近路径的极限一致。例如，狄利克雷函数在有理数点取 $1$，无理数点取 $0$，存在特定数列使极限为 $1$，但函数极限不存在。