题目
11.若({f_{n)(x)}}是定义在E上的一列函数，且对任意x∈E，f_(n)(x)≤f_(n+1)(x)，n=1，2，…证明：对任意c∈R，A_(n)=(x：f_{n)(x)>c}是单调增集合列，且lim_(n to infty)A_(n)=x:lim_{n to infty)f_(n)(x)>c}.
11.若{${f_{n}(x)}$}是定义在E上的一列函数，且对任意x∈E，f$_{n}$(x)≤f$_{n+1}$(x)，n=1，2，…证明：对任意c∈R，A$_{n}$={x：f$_{n}$(x)>c}是单调增集合列，且$\lim_{n \to \infty}A_{n}=\{x:\lim_{n \to \infty}f_{n}(x)>c\}.$
题目解答
答案
**证明：**
1. **单调性**
对任意 $x \in A_n$，有 $f_n(x) > c$。由条件 $f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$，得 $f_{n+1}(x) \geq f_n(x) > c$，故 $x \in A_{n+1}$。因此，$A_n \subseteq A_{n+1}$，即 $\{A_n\}$ 单调增。
2. **极限**
由于 $\{A_n\}$ 单调增，其极限为 $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$。
- **包含关系1**：若 $x \in \bigcup_{n=1}^\infty A_n$，则存在 $n_0$ 使 $f_{n_0}(x) > c$。由单调性，$\lim_{n \to \infty} f_n(x) \geq f_{n_0}(x) > c$，故 $x \in \{x : \lim_{n \to \infty} f_n(x) > c\}$。
- **包含关系2**：若 $x \in \{x : \lim_{n \to \infty} f_n(x) > c\}$，则 $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = L > c$。存在 $N$ 使 $f_N(x) > c$，即 $x \in A_N \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty A_n$。
综上，$\bigcup_{n=1}^\infty A_n = \{x : \lim_{n \to \infty} f_n(x) > c\}$，即 $\lim_{n \to \infty} A_n = \{x : \lim_{n \to \infty} f_n(x) > c\}$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\text{对任意 } c \in \mathbb{R}, \text{ 集合 } A_n = \{ x : f_n(x) > c \} \text{ 是单调增集合列，且} \\
\lim_{n \to \infty} A_n = \{ x : \lim_{n \to \infty} f_n(x) > c \}.
\end{array}
}
\]