题目

求函数z=x^y在点(3,1)处的全微分.

求函数$z=x^{y}$在点(3,1)处的全微分.

题目解答

答案

为了求函数 $ z = x^y $ 在点 $(3,1)$ 处的全微分，我们首先需要计算 $ z $ 关于 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数，然后使用全微分的公式。 全微分 $ dz $ 的公式为： \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \] ### 步骤1：计算 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 将 $ y $ 看作常数，对 $ z = x^y $ 关于 $ x $ 求导： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = y x^{y-1} \] ### 步骤2：计算 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 将 $ x $ 看作常数，对 $ z = x^y $ 关于 $ y $ 求导。可以使用对数求导法： \[ \ln z = \ln (x^y) = y \ln x \] 对两边关于 $ y $ 求导： \[ \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial y} = \ln x \] 因此， \[ \frac{\partial z}{\partial y} = z \ln x = x^y \ln x \] ### 步骤3：在点 $(3,1)$ 处计算偏导数 将 $ x = 3 $ 和 $ y = 1 $ 代入偏导数的表达式： \[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(3,1)} = 1 \cdot 3^{1-1} = 1 \cdot 3^0 = 1 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(3,1)} = 3^1 \ln 3 = 3 \ln 3 \] ### 步骤4：写出全微分 将计算得到的偏导数代入全微分的公式： \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = 1 \cdot dx + 3 \ln 3 \cdot dy = dx + 3 \ln 3 \, dy \] 因此，函数 $ z = x^y $ 在点 $(3,1)$ 处的全微分是： \[ \boxed{dx + 3 \ln 3 \, dy} \]

解析

考查要点：本题主要考查多元函数的全微分计算，涉及偏导数的求解和全微分公式的应用。

解题核心思路：

  1. 分别计算函数对$x$和$y$的偏导数；
  2. 代入指定点$(3,1)$求出偏导数值；
  3. 代入全微分公式得到最终结果。

破题关键点：

  • 对$x$求偏导时，将$y$视为常数，直接应用幂函数求导法则；
  • 对$y$求偏导时，由于底数含变量$x$，需使用对数求导法或指数函数求导法则；
  • 全微分公式的正确应用。

步骤1：计算$\frac{\partial z}{\partial x}$

将$y$视为常数，对$z = x^y$关于$x$求导：
$\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot x^{y-1}$

步骤2：计算$\frac{\partial z}{\partial y}$

将$x$视为常数，对$z = x^y$关于$y$求导。使用对数求导法：

  1. 取自然对数：$\ln z = y \ln x$；
  2. 对$y$求导：$\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial y} = \ln x$；
  3. 解得：$\frac{\partial z}{\partial y} = z \ln x = x^y \ln x$。

步骤3：代入点$(3,1)$

  • $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(3,1)} = 1 \cdot 3^{1-1} = 1$；
  • $\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(3,1)} = 3^1 \ln 3 = 3 \ln 3$。

步骤4：写出全微分

将偏导数值代入全微分公式：
$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = dx + 3 \ln 3 \, dy$