(14)求定积分int_(0)^3arcsinsqrt((x)/(1+x))dx=____.

考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及变量替换法和分部积分法的综合应用，以及三角恒等式的灵活运用。

解题核心思路：

1. 变量替换：通过设$t = \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}}$，将原积分转化为关于$t$的积分，简化被积函数。
2. 分部积分：对转化后的积分应用分部积分法，降低积分复杂度。
3. 三角恒等式：利用$\tan^2 t = \sec^2 t - 1$简化剩余积分。

破题关键点：

• 变量替换的选择：通过观察被积函数的结构，选择合适的替换变量，将复杂的根式转化为三角函数形式。
• 分部积分的策略：合理选择$u$和$dv$，使积分过程简化。
• 积分结果的化简：利用三角恒等式将$\tan^2 t$转化为更易积分的形式。

变量替换：
设$t = \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}}$，则$\sqrt{\frac{x}{1+x}} = \sin t$，平方得$\frac{x}{1+x} = \sin^2 t$，解得$x = \tan^2 t$。
当$x$从$0$变到$3$时，$t$从$0$变到$\frac{\pi}{3}$。对$x$求导得$dx = 2 \tan t \sec^2 t \, dt$。

积分转化：
原积分变为：
$\int_{0}^{3} \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} t \cdot 2 \tan t \sec^2 t \, dt.$

分部积分：
设$u = t$，$dv = 2 \tan t \sec^2 t \, dt$，则$du = dt$，$v = \tan^2 t$。
分部积分公式得：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} t \cdot 2 \tan t \sec^2 t \, dt = \left[ t \tan^2 t \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^2 t \, dt.$

计算边界项：
当$t = \frac{\pi}{3}$时，$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$，故$\left[ t \tan^2 t \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} \cdot 3 - 0 = \pi$。

计算剩余积分：
利用$\tan^2 t = \sec^2 t - 1$，得：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^2 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2 t - 1) \, dt = \left[ \tan t - t \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \left( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \right) - 0 = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}.$

最终结果：
$\pi - \left( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}.$