求函数(x)=sqrt (x)按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.

步骤 1：计算函数$f(x)=\sqrt{x}$在$x=4$处的函数值和各阶导数值
$f(4)=\sqrt{4}=2$
$f'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$, $f'(4)=\dfrac{1}{2}4^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}$
$f''(x)=-\dfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$, $f''(4)=-\dfrac{1}{4}4^{-\frac{3}{2}}=-\dfrac{1}{32}$
$f'''(x)=\dfrac{3}{8}x^{-\frac{5}{2}}$, $f'''(4)=\dfrac{3}{8}4^{-\frac{5}{2}}=\dfrac{3}{8\cdot32}=\dfrac{3}{256}$
步骤 2：构造泰勒公式
$f(x)=f(4)+f'(4)(x-4)+\dfrac{f''(4)}{2!}(x-4)^2+\dfrac{f'''(4)}{3!}(x-4)^3+R_3(x)$
步骤 3：代入计算
$f(x)=2+\dfrac{1}{4}(x-4)-\dfrac{1}{64}(x-4)^2+\dfrac{3}{256\cdot6}(x-4)^3+R_3(x)$
步骤 4：计算拉格朗日型余项
$R_3(x)=\dfrac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-4)^4$, 其中$\xi$在$x$和$4$之间
$f^{(4)}(x)=-\dfrac{15}{16}x^{-\frac{7}{2}}$, $R_3(x)=-\dfrac{15}{16\cdot24}\xi^{-\frac{7}{2}}(x-4)^4$